AMC 10 · 2020 · #25

학년 7 arithmetic

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Numeric Operation Tree

prime-factorizationrecursive-sequencecombinations-basicdivisor-count easier-related-problemcaseworkidentify-subproblems ↑ 선수 지식: prime-factorizationcombinations-basic

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

96 을 1 보다 큰 정수들의 순서 있는 곱으로 나타내는 방법의 수. (순서 다른 것을 다르게 셈 — 2 · 3 ≠ 3 · 2.) D(96) 의 값?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

112

(B)

128

(C)

144

(D)

172

(E)

184

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

도구 #9(더 쉬운 문제): 문제에 주어진 D(6) = 3 을 검증용 작은 사례로. 도구 #2(나열): 인수 개수 k = 1, …, 6 으로 분류 (2^k ≤ 96 필요라 k ≤ 6). 도구 #7(쪼개기): 각 k 에 대해 (a) 단일 3 의 위치 (b) 5 개의 2 분배 — 두 부분으로 분리. 도구 #5(패턴): 각 k 별 개수가 k · C(5, k-1). 도구 #13(대수): 닫힌 공식으로 합산. 도구 #6(추측·확인): 작은 사례 D(6) = 3 으로 공식 확인.

1STEP 1

96 = 2⁵ · 3 이므로 순서 인수분해 f₁…f_k 는 a_i + b_i ≥ 1, Σ a_i = 5, Σ b_i = 1.

f_i = 2^a_i 3^b_i, a_i + b_i ≥ 1, Σ a_i = 5, Σ b_i = 1

2STEP 2

Σ b_i = 1 이라 한 슬롯만 3 을 갖고 나머지는 없으니, 3 이 들어갈 슬롯은 k 가지.

3 의 위치: k 가지

3STEP 3

3 없는 슬롯은 먼저 2 를 하나씩 받고 (안 그러면 1), 남은 2 를 별과 막대로 나누면 C(5, k - 1) 가지.

2 분배: C(5, k - 1)

4STEP 4

따라서 N_k = k · C(5, k - 1), 2^k ≤ 96 이라 k ≤ 6, k = 1…6 이면 1, 10, 30, 40, 25, 6.

N_k = k C(5, k-1): 1, 10, 30, 40, 25, 6

5STEP 5

모두 더하면 1 + 10 + 30 + 40 + 25 + 6 = 112, 선택지 (A).

D(96) = 1 + 10 + 30 + 40 + 25 + 6 = 112 → (A)

6STEP 6

점검: 6 = 2¹ · 3¹ 에 같은 규칙을 쓰면 1 + 2 = 3, 주어진 D(6) = 3 과 일치.

D(6) = 1 + 2 = 3 ✓

정답

112

두 단계 점검. (1) D(6) = 3 확인 — 공식 N_k = k C(5, k-1) 일반화가 정확. (2) 총 112 가 선택지 100 과 144 사이의 적절한 값. N_k 분포가 k = 4 에서 40 으로 정점 — 96 의 인수 평균 길이가 ∼ log₂ 96 ≈ 6.6 (최소 인수 2) 와 일관. (A) 확정.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 7학년 경우의 수만 알면 풀려요 — 96 = 2⁵ · 3 이라 각 인수 개수 k 마다 3 의 위치 (k 가지) × 5 개의 2 분배 (C(5, k-1), 스타스 앤 바스): k = 1 부터 6 까지 합하면 1 + 10 + 30 + 40 + 25 + 6 = 112.

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