경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 10 · 2020B · #7

학년 5 arithmetic
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration
multiplesperfect-squaresdivisibility-rulesbound-inequality-then-enumerate easier-related-problembound-inequality-then-enumeratesystematic-enumeration ↑ 선수 지식: perfect-squaresdivisibility-rules
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
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문제
2020 보다 작은 양의 완전제곱수 중 3의 짝수 배수인 것의 개수를 구하시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
7
(B)
8
(C)
9
(D)
10
(E)
12

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기

도구 #9 (더 쉬운)로 "3의 짝수 배수" 를 "6의 배수" 로 바꾼다. 도구 #2로 후보 6², 12², 18², … 를 순서대로 나열하고 2020을 넘으면 멈춤. 도구 #5로 패턴 (6k)² = 36k²을 잡아 k 의 개수만 세면 됨. 도구 #3으로 보기와 대조.

1STEP 1

6의 배수로 바꾸기

"3의 짝수 배수" 는 2의 배수이면서 3의 배수, 곧 6 의 배수예요.

짝수 ∩ 3의 배수 = 6의 배수
2STEP 2

n이 6의 배수임 보이기

2, 3이 소수라 n²이 6의 배수면 n = 6k — 즉 36k²이 2020 미만이면 돼요.

n = 6k, k ∈ {1, 2, 3, …}, n² = 36k² ＜ 2020
3STEP 3

제곱수 차례로 나열하기

n = 6k 에 대해 36k²을 작은 k 부터 나열, 2020을 넘으면 멈춤.

k=1: 36, k=2: 144, k=3: 324, k=4: 576, k=5: 900, k=6: 1296, k=7: 1764, k=8: 2304
4STEP 4

2020과 비교하기

앞 일곱 개는 2020 미만, 여덟 번째 2304부터 초과 — k 는 1 … 7, 즉 7 개예요.

1764 ＜ 2020 ＜ 2304 → k ∈ {1, 2, …, 7}
5STEP 5

선택지와 맞춰 보기

7은 (A).

7 → (A)
정답
7
경계로 빠르게 확인: 36k² ＜ 2020 ⇔ k² ＜ 56.1 ⇔ k ≤ 7 (7² = 49 ＜ 56이고 8² = 64 ＞ 56). 따라서 k 는 1, 2, …, 7의 7 개. ✓ 나열한 36, 144, 324, 576, 900, 1296, 1764은 모두 짝수 (끝자리 짝수), 모두 3의 배수 (각자릿수 합 9, 9, 9, 18, 9, 18, 18), 모두 2020 미만. ✓
💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 5학년 곱셈과 배수만 알면 풀 수 있어요 — "3의 짝수 배수" 는 "6의 배수" 와 같으니, (6 · 1)², (6 · 2)², … 을 2020까지 나열. 일곱 개 (36, 144, 324, 576, 900, 1296, 1764)가 들어가고 여덟 번째 (2304)부터 초과 — 답은 7.

  • 6의 배수로 바꾸기
  • n이 6의 배수임 보이기
  • 제곱수 차례로 나열하기
  • 2020과 비교하기
  • 선택지와 맞춰 보기

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