AMC 10 · 2020 · #9

학년 6 algebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

perfect-squaresbound-inequality-then-enumerateparity identify-subproblemsbound-inequality-then-enumeratecasework ↑ 선수 지식: perfect-squaresexponents

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

x²⁰²⁰ + y² = 2y 를 만족하는 정수 순서쌍 (x, y) 의 개수를 구하시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

infinitely many

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

도구 #7 로 완전제곱을 이용해 x²⁰²⁰ + (y-1)² = 1 로 변형 — 두 항 모두 음 아닌 정수, 합이 1. 도구 #9 (더 쉬운) 로 무서워 보이는 x²⁰²⁰ 을 "x = 0 이면 0, x = ± 1 이면 1, 그 외엔 거대" 로 단순화. 도구 #2 로 합이 1 인 두 경우만 나열. 도구 #3 으로 보기와 매칭.

1STEP 1

2y 를 좌변으로 옮기고 y 항을 완전제곱으로 정리.

x²⁰²⁰ + y² - 2y = 0 → x²⁰²⁰ + (y - 1)² = 1

2STEP 2

두 항 모두 음 아닌 정수, 그 합이 1 이려면 하나는 0 다른 하나는 1 — 두 경우뿐.

{x²⁰²⁰, (y-1)²} = {0, 1}

3STEP 3

시나리오 1 — x²⁰²⁰ = 0 이면 x = 0, (y-1)² = 1 이면 y = 0 또는 2: 쌍 (0, 0), (0, 2).

x = 0, y ∈ {0, 2} → (0, 0), (0, 2)

4STEP 4

시나리오 2 — x²⁰²⁰ = 1 이면 x = ± 1 (짝수 지수), (y-1)² = 0 이면 y = 1: 쌍 (1, 1), (-1, 1).

x ∈ {-1, 1}, y = 1 → (1, 1), (-1, 1)

5STEP 5

두 갈래는 y 값이 달라 겹치지 않으니 더하면 2 + 2 = 네 쌍.

2 + 2 = 4

6STEP 6

개수 4 는 (D).

4 → (D)

정답

네 쌍을 원식 x²⁰²⁰ + y² = 2y 에 대입해 확인: (0, 0): 0 + 0 = 0 = 2 · 0 ✓; (0, 2): 0 + 4 = 4 = 2 · 2 ✓; (1, 1): 1 + 1 = 2 = 2 · 1 ✓; (-1, 1): 1 + 1 = 2 = 2 · 1 ✓. 다른 쌍이 없음도 확인: |x| ≥ 2 면 x²⁰²⁰ ≥ 2²⁰²⁰ 이라 (y-1)² 이 음수가 되어야 하는데 불가능. 보기 (E) 무한히 많음은 배제. ✓

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 6학년 식 변형만 알면 풀 수 있어요 — 완전제곱으로 x²⁰²⁰ + (y-1)² = 1 로 정리하면, 음 아닌 두 정수의 합이 1 이 되는 경우는 0 + 1 뿐. 그래서 (0, 0), (0, 2), (1, 1), (-1, 1) 의 4 쌍.

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