AMC 10 · 2021 · #12

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

similar-trianglesratio-proportionvolume-cylinder identify-subproblemseasier-related-problem ↑ 선수 지식: similar-triangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

꼭지점이 아래로 향한 두 직원뿔이 "같은 부피"의 액체를 담고 있습니다. 좁은 원뿔의 액체 표면은 반지름 3 cm 의 원, 넓은 원뿔의 표면은 반지름 6 cm 의 원입니다. 두 원뿔에 같은 구슬(반지름 1 cm) 을 하나씩 떨어뜨려 가라앉히면, 좁은 쪽 액체 높이가 Δ_n, 넓은 쪽이 Δ_w 만큼 올라갑니다. 비 Δ_n : Δ_w 를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

1:1

(B)

47:43

(C)

2:1

(D)

40:13

(E)

4:1

AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

도구 #9(더 쉬운 문제)가 가장 큰 역할: 두 원뿔이 "엄청 길다"고 가정해 수면 근처를 반지름 3, 6 의 원기둥으로 근사. 같은 추가 부피 V_m 이 좁은 원기둥은 $\frac{V_m}{π · 3²}$ 만큼, 넓은 원기둥은 $\frac{V_m}{π · 6²}$ 만큼 들어 올리므로 비는 $\frac{36}{9}$ = 4. 도구 #1(그림)로 원뿔 대 원기둥 그림을 또렷이. 도구 #7(쪼개기)로 엄밀화: 같은 초기 부피 조건이 좁은 원뿔 높이를 넓은 원뿔의 4 배로 만들고, 같은 4 배가 상승 비에서 다시 나타남. 도구 #3(가능성 지우기)으로 다섯 선택지 중 (E) 확정.

1STEP 1

닮음으로 각 원뿔의 표면 반지름은 높이에 비례: 좁은 r = $\frac{3}{h_n}$ · h, 넓은 r = $\frac{6}{h_w}$ · h.

좁은: r =

\frac{3}{h_n}

· h. 넓은: r =

\frac{6}{h_w}

· h.

2STEP 2

같은 초기 부피: $\frac{1}{3}$ π(3)² h_n = $\frac{1}{3}$ π(6)² h_w → 9 h_n = 36 h_w, 즉 h_n = 4 h_w.

\frac{1}{3}

π (3)² h_n =

\frac{1}{3}

π (6)² h_w → h_n = 4 h_w

3STEP 3

더 쉬운 문제: 수면 근처를 반지름 3, 6 원기둥으로 보면 같은 구슬 부피가 비 $\frac{36}{9}$ = 4 로 올림.

\frac{Δ_n^{cyl}}{Δ_w^{cyl}}

\frac{\frac{V_m}{π · 9}}{\frac{V_m}{π · 36}}

\frac{36}{9}

= 4

4STEP 4

정확히: 각 원뿔 부피를 한 높이 변수로 쓰면 H_n³ - h_n³ = $\frac{V_m h_n²}{3π}$ , 넓은 쪽도 같은 꼴.

H_n³ - h_n³ =

\frac{V_m h_n²}{3π}

, H_w³ - h_w³ =

\frac{V_m h_w²}{12π}

5STEP 5

h_n = 4 h_w 이면 두 항등식이 같은 배율 λ 를 공유해 $\frac{H}{h}$ 가 같으니 $\frac{Δ_n}{Δ_w}$ = $\frac{h_n}{h_w}$ = 4.

\frac{Δ_n}{Δ_w}

\frac{H_n - h_n}{H_w - h_w}

\frac{h_n}{h_w}

= 4

6STEP 6

비를 선택지와 맞추면 4 : 1 로 (E); 나머지(1:1, 47:43, 2:1, 40:13)는 같은 부피 조건에 안 맞음.

Δ_n : Δ_w = 4 : 1 → (E)

정답

4:1

4:1 이 자연스러운 이유 두 가지. (a) 원기둥 근사(도구 #9)에서 이미 정확히 4:1 이 나옴 — 같은 구슬이 같은 부피를 더하는데, 넓은 테두리는 그 부피를 넓은 면적 위에 펴므로 상승이 작음. 반지름이 두 배면 면적은 제곱으로 네 배 (

\frac{6²}{3²}

= 4), 따라서 넓은 쪽 상승이 4 배 작음. (b) 같은 부피에서 좁은 원뿔은 네 배 "키가 큼" 이고, 상승은 원래 높이에 비례 — 다시 4:1. 두 논증이 일치, 그리고 답은 구슬의 실제 부피에 무관 — 어떤 작은 물체든 비는 4:1.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 때 배운 부피 공식과 비례 추론만 알면 풀 수 있어요! 같은 액체 부피에 넓은 테두리 — 그러면 좁은 원뿔의 키가 4 배. 같은 구슬을 떨어뜨리면 넓은 테두리는 그 부피를 4 배 넓은 단면에 펴서 상승이 $\frac{1}{4}$ 배. 비 4:1, 답 (E).

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