AMC 10 · 2021 · #13

학년 8 geometry-3d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

pythagorean-theoremspatial-visualizationarea-triangles identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

사면체 ABCD 의 여섯 모서리 길이가 AB = 2, AC = 3, AD = 4, BC = √(13), BD = 2√(5), CD = 5 입니다. 부피를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$~2\sqrt{3}$

(C)

(D)

$~3\sqrt{3}$

(E)

AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림): 꼭짓점 A 에서 세 모서리 AB, AC, AD 가 B, C, D 로 뻗는 그림. 핵심 트릭은 A 를 포함하는 세 삼각형 면이 모두 A 에서 직각인지 — 피타고라스의 역 (도구 #6, 추측·확인으로 a² + b² = c² 확인). 실제로 2² + 3² = 13 = BC², 2² + 4² = 20 = BD², 3² + 4² = 25 = CD². 셋 다! 따라서 A 에서 나오는 세 모서리가 서로 수직, 이 사면체는 "직육면체의 한 모서리" 이고 부피는 $\frac{1}{6}$ · AB · AC · AD. 도구 #7(쪼개기)은 "직각 검출 → 모서리 공식" 으로 분할. 도구 #3(가능성 지우기)으로 최종 값을 선택지와 매칭.

1STEP 1

모든 모서리를 제곱: AB² = 4, AC² = 9, AD² = 16, 그리고 BC² = 13, BD² = 20, CD² = 25.

AB² = 4, AC² = 9, AD² = 16, BC² = 13, BD² = 20, CD² = 25

2STEP 2

ABC 면에서 AB² + AC² = 4 + 9 = 13 = BC², 피타고라스의 역으로 ∠BAC = 90°.

AB² + AC² = 4 + 9 = 13 = BC² → ∠ BAC = 90°

3STEP 3

마찬가지로 4 + 16 = 20 = BD², 9 + 16 = 25 = CD² 이므로 ∠BAD = ∠CAD = 90°.

AB² + AD² = 20 = BD², AC² + AD² = 25 = CD²

4STEP 4

A 의 세 직각은 AB, AC, AD 가 서로 수직임을 뜻함 — 2 × 3 × 4 박스의 모서리 조각.

A = (0,0,0), B = (2,0,0), C = (0,3,0), D = (0,0,4)

5STEP 5

직각삼각형 ABC 를 밑면으로: 밑넓이 3 (½ · 2 · 3), 높이는 AD = 4 (AD 가 그 평면에 수직).

[ABC] =

\frac{1}{2}

· 2 · 3 = 3, 높이 = AD = 4

6STEP 6

각뿔 부피 = ⅓ · 밑넓이 · 높이 = ⅓ · 3 · 4 (= ⅙ · 2 · 3 · 4), 따라서 V = 4.

V =

\frac{1}{3}

· 3 · 4 = 4 =

\frac{1}{6}

· 2 · 3 · 4

7STEP 7

선택지 중 4 와 같은 것은 (C) 뿐이라 부피는 (C); 나머지는 박스 모서리 값과 안 맞음.

V = 4 → (C)

정답

"박스 모서리" 모양 자체가 검산. 전체 2 × 3 × 4 박스 부피는 24, 한 모서리에서 자르는 사면체는 박스의 정확히

\frac{1}{6}

(한 꼭짓점을 지나는 세 대각면이 박스를 합동인 사면체 여섯 개로 나눔). 따라서 V =

\frac{24}{6}

= 4 ✓. 길이 2–5 정도의 모서리에서 부피가 한 자릿수가 나오는 것은 자연스러움.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 때 배운 피타고라스 정리만 알면 풀 수 있어요! 모든 모서리를 제곱: 2²+3² = 13, 2²+4² = 20, 3²+4² = 25 — 정확히 BC², BD², CD². 그러니까 AB, AC, AD 가 서로 수직, 2 × 3 × 4 박스의 모서리 세 변과 같은 모양. 사면체는 그 박스의 $\frac{1}{6}$ , 따라서 부피는 $\frac{24}{6}$ = 4, 답 (C).

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