AMC 10 · 2021 · #17

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

similar-trianglespythagorean-theoremisosceles-triangleperpendicular-bisector identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: similar-triangles

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

사다리꼴 ABCD 에서 AB ∥ CD, BC = CD = 43, 그리고 대각선 BD 가 변 AD 에 수직입니다. 대각선 AC 와 BD 의 교점을 O, BD 의 중점을 P 라 할 때 OP = 11 입니다. AD 를 m√(n) 형태로 (단, n 은 제곱인수가 없음) 나타냈을 때 m + n 의 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

132

(C)

157

(D)

194

(E)

215

AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

문장 안에 네 가지 조건 (평행·이등변·수직·중점) 이 한꺼번에 들어 있으므로 도구 #1 (그림) 으로 정리해야 핵심 직각 △ CPD 가 보입니다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기) 로 문제를 세 토막으로 나눔: (a) 닮음 △ BDA ∼ △ BPC 로 AB 구하기, (b) 대각선 분할비 BO:OD = AB:CD = 2:1 과 OP = 11 로 BD 구하기, (c) △ ADB 에 피타고라스 정리로 AD 구하기. 도구 #13 (대수) 은 (b) 단계의 일차방정식 x/2 = 11 을 깔끔하게 처리합니다.

1STEP 1

BC = CD 이므로 △BCD 는 이등변삼각형이고, C 에서 중점 P 로의 중선이 곧 수선: CP ⊥ BD.

CP ⊥ BD, ∠ CPB = 90°

2STEP 2

AB ∥ CD 로 엇각 ∠ABD = ∠BDC = ∠DBC 이고, 두 삼각형 모두 직각을 가지므로 AA 로 △BDA ∼ △BPC.

△ BDA ∼ △ BPC

3STEP 3

닮음비 AB/BC = BD/BP = 2 (P 가 BD 를 이등분), 따라서 AB = 86.

AB = 2 · 43 = 86

4STEP 4

평행 밑변이 대각선을 BO:OD = 2:1 로 가름; OD = x 면 BD = 3x, D, O, P, B 순서로 OP = x/2.

OP = x/2 (OD = x)

5STEP 5

OP = 11 대입: x/2 = 11 이면 x = 22, 따라서 BD = 66.

x = 22, BD = 66

6STEP 6

D 가 직각: 피타고라스로 AD² = 86² - 66² = 20·152 = 3040.

AD² = 86² - 66² = 20 · 152 = 3040

7STEP 7

3040 = 16·190, 190 = 2·5·19 는 제곱인수 없어 AD = 4√(190); m+n = 4+190 = 194 → (D).

AD = 4√(190), m + n = 194 → (D)

정답

194

AB = 86, BD = 66 이므로 AD = √(86² - 66²) ≈ √(3040) ≈ 55.1 — 빗변 86 보다 짧은 양의 길이로 다리답습니다. 4√(190) ≈ 4 · 13.78 ≈ 55.1 도 일치. 190 = 2 · 5 · 19 가 제곱인수 없음을 확인했으므로 형태는 최소 — 답 m + n = 194, (D) 가 맞습니다.

💡핵심 정리

이등변 △ BCD 안의 직각 (CP ⊥ BD) 한 가지만 보이면 끝: 닮음비로 AB = 86, 대각선 분할비 BO:OD = 2:1 과 OP = 11 로 BD = 66, 피타고라스로 AD = 4√(190) — 따라서 m + n = (D) 194.

비슷한 유형 더 풀어보기