AMC 10 · 2021 · #18

학년 7 number-theory

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prime-factorizationfunction-evaluationfraction-arithmeticprime-numbers convert-to-algebraguess-and-check ↑ 선수 지식: prime-factorization

📏 긴 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

양의 유리수 위에서 정의된 함수 f 가 곱을 합으로 바꾸는 성질 f(ab) = f(a) + f(b) 를 만족하고, 모든 소수 p 에 대해 f(p) = p 입니다. 다섯 개의 분수 중에서 f(x) ＜ 0 이 되는 것을 찾으세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{17}{32}$

(B)

$\frac{11}{16}$

(C)

$\frac79$

(D)

$\frac76$

(E)

$\frac{25}{11}$

AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

도구 #13 (대수): f(ab) = f(a) + f(b) 와 f(p) = p 가 결합되면 양의 유리수 위에서 f 가 완전히 결정됩니다 — 분자·분모를 소인수분해한 뒤, 분자 쪽 소수 합에서 분모 쪽 소수 합을 빼면 끝. 깨끗한 공식 f((Π p_i^a_i)/(Π q_j^b_j)) = Σ a_i p_i - Σ b_j q_j 가 나오면 도구 #6 (추측하고 확인) 으로 다섯 후보를 차례로 대입하고 도구 #3 (가능성 지우기) 로 양의 값을 모두 제거. 선택지가 다섯 개뿐인 객관식이므로 전부 확인이 정공법입니다.

1STEP 1

a = b = 1 로 f(1) = 2f(1), 즉 f(1) = 0; a = x, b = 1/x 로 f(1/x) = -f(x).

f(1) = 0, f (1/x) = -f(x)

2STEP 2

f(p) 를 k 번 더하면 f(p^k) = k·p; 역수 규칙까지 합치면 f(N/D) = Σ a_i p_i - Σ b_j q_j.

f (N/D) = Σ a_i p_i - Σ b_j q_j

3STEP 3

(A) $\frac{17}{32}$ : 17 은 소수, 32 = 2⁵, f = 17 - 5·2 = 7 — 양수, 제거.

f (

\frac{17}{32}

) = 17 - 10 = 7 ＞ 0

4STEP 4

(B) $\frac{11}{16}$ : 11 은 소수, 16 = 2⁴, f = 11 - 4·2 = 3 — 양수, 제거.

f (

\frac{11}{16}

) = 11 - 8 = 3 ＞ 0

5STEP 5

f (

\frac{7}{9}

) = 7 - 6 = 1 ＞ 0

6STEP 6

(D) $\frac{7}{6}$ : 7 은 소수, 6 = 2·3, f = 7 - (2 + 3) = 2 — 양수, 제거.

f (

\frac{7}{6}

) = 7 - (2 + 3) = 2 ＞ 0

7STEP 7

(E) $\frac{25}{11}$ : 25 = 5², 11 은 소수, f = 2·5 - 11 = -1 — 음수, 정답.

f (

\frac{25}{11}

) = 10 - 11 = -1 ＜ 0 → (E)

정답

\frac{25}{11}

f 는 "가중 소수 카운터" 처럼 작용하므로 f(N/D) ＜ 0 이려면 D 의 소수 합이 N 의 소수 합보다 커야 합니다. 비교를 뒤집는 것은 (E) 뿐: N = 25 = 5 · 5 의 합은 5 + 5 = 10, D = 11 의 합은 11, 11 ＞ 10. 다른 네 선택지는 분자에 큰 소수 (17, 11, 7, 7) 한 개, 분모에 작은 소수의 거듭제곱이 있어 분자 쪽이 이깁니다.

💡핵심 정리

f 는 요리법 같은 함수: 수를 소인수로 잘라서 분자 쪽 소수는 더하고 분모 쪽 소수는 뺍니다. 분모의 소수 11 이 분자의 소수 합 5+5=10 을 이기는 선택지는 $\frac{25}{11}$ 뿐 — f = -1, 답은 (E).

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