경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 10 · 2021A · #19

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

absolute-valuearea-circlesarea-rectanglescaseworksymmetry-argument caseworkidentify-subproblems ↑ 선수 지식: absolute-value

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

그래프 x² + y² = 3|x - y| + 3|x + y| 이 둘러싸는 영역의 넓이가 정수 m, n 에 대해 m + nπ 일 때 m + n 의 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

도구 #7 (작은 문제로 쪼개기) — 두 직선 y = x 와 y = -x 가 평면을 네 개의 쐐기로 나눕니다. 각 쐐기에서 |x|, |y| 중 하나가 더 크므로 절댓값이 부호 다툼 없이 풀립니다. 도구 #13 (대수): 각 쐐기에서 방정식이 원으로 바뀜, 예를 들어 (x - 3)² + y² = 9. 도구 #5 (패턴): 네 쐐기가 원점 중심의 90° 회전으로 합동인 네 원을 만듭니다. 도구 #1 (그림): 네 호를 그려 보면 가운데 정사각형에 네 반원 혹이 붙은 모양 — 넓이는 정사각형 + 4 반원으로 분해됩니다.

1STEP 1

절댓값 항등식 이용하기

항등식 |x - y| + |x + y| = 2 max(|x|, |y|)로 우변이 6 max(|x|, |y|), 경계 y = x, y = -x.

x² + y² = 6 max(|x|, |y|)

2STEP 2

오른쪽 영역 식 구하기

오른쪽 쐐기 x ≥ |y|: max = x 라 x² + y² = 6x, 즉 (x - 3)² + y² = 9, 중심 (3, 0), 반지름 3 원.

(x - 3)² + y² = 9

3STEP 3

반원 호 따라가기

x ≥ |y| 에선 원이 θ ∈ [-π/2, π/2] 부분만 남아, (3, -3) 에서 (3, 3)까지 (6, 0) 지나는 오른쪽 반원.

(3, -3) → (6, 0) → (3, 3) 오른쪽 반원

4STEP 4

회전으로 나머지 영역 얻기

대칭으로 나머지 세 쐐기는 90°, 180°, 270° 회전한 같은 원 — 중심 (± 3, 0), (0, ± 3), 반지름 3 인 네 원.

(± 3, 0), (0, ± 3) 중심 네 원, 반지름 3

5STEP 5

전체 영역 그리기

호의 끝점 (± 3, ± 3)은 한 변 6 정사각형의 꼭짓점이고, 네 변마다 반원 혹이 하나씩 붙습니다.

닫힌 영역 = (한 변 6 정사각형) ∪ (반원 4 개, 반지름 3)

6STEP 6

정사각형과 반원 넓이 더하기

정사각형 넓이 6 × 6 = 36, 반원 네 개 4 · $\frac{1}{2}$ π · 3² = 18π, 총 넓이 36 + 18π.

넓이 = 36 + 18π

7STEP 7

m과 n 더하기

m + nπ 형태에서 m = 36, n = 18 이므로 m + n = 54 — 선택지 (E).

m + n = 36 + 18 = 54 → (E)

정답

원점은 양변이 모두 0 이므로 경계 위. 호는 (± 6, 0), (0, ± 6)까지 뻗어 영역은 12 × 12 사각형 (넓이 144) 안에 들어갑니다. 답 36 + 18π ≈ 36 + 56.5 ≈ 92.5는 144 보다 작고 내접 정사각형 36 보다 큰 적정 범위 — 끼움 검산 통과. 혹 한 개의 넓이 9π/2 ≈ 14.1, 네 개 합 ≈ 56.5도 일치.

💡핵심 정리

절댓값 합 |x-y|+|x+y| 는 사실 2 max(|x|, |y|) 라서 평면이 네 쐐기로 갈리고, 각 쐐기에서 반지름 3 원이 하나씩 나옵니다. 네 원이 원점 중심으로 회전대칭이라 가운데 정사각형 (넓이 36) + 네 반원 (넓이 18π) 모양 — 넓이 36 + 18π, m + n = (E) 54.

절댓값 항등식 이용하기
오른쪽 영역 식 구하기
반원 호 따라가기
회전으로 나머지 영역 얻기
전체 영역 그리기
정사각형과 반원 넓이 더하기
m과 n 더하기

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