AMC 10 · 2021 · #23

학년 7 geometry-2d

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Markov State Probability

probability-basicsymmetry-argumentrecursive-sequencecomplementary-counting identify-subproblemscasework ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

개구리 Frieda 는 3 × 3 격자의 중앙에서 시작합니다. 매 점프마다 상·하·좌·우 중 하나로 확률

\frac{1}{4}

씩 이동하고, 격자 바깥으로 나가면 반대쪽 끝으로 "감아 돌아" 들어옵니다. 모서리 칸에 닿는 순간 멈춥니다. 최대 4 번 점프 안에 모서리에 닿을 확률을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$~\frac{9}{16}$

(B)

$~\frac{5}{8}$

(C)

$~\frac{3}{4}$

(D)

$~\frac{25}{32}$

(E)

$~\frac{13}{16}$

AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

도구 #1(그림 그리기) — 격자를 그리고 C/E/V 색칠, 감아 돌기 화살표를 보여 이동 종류 파악. 도구 #9(더 쉬운 문제) — "9 칸 위치" 를 추적하는 대신 격자 대칭으로 "3 가지 칸 종류" 만 추적해 상태공간을 압축. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) — 점프별로 "아직 안 멈춤 + 현재 C" 와 "+ 현재 E" 두 양만 계산 (V 는 멈춤). 도구 #5(패턴 찾기) — 재귀가 짧으니 (4 점프) 한 줄씩 풀면 됨. 도구 #3(가능성 지우기) — 선택지 분모가 모두 32 의 약수라 답이 분모 32 일 것을 예상.

1STEP 1

대칭으로 세 종류(C·E·V). C→E 확정, E 에서 P(E → V) = $\frac{1}{2}$ , P(E → C) = P(E → E) = $\frac{1}{4}$ .

P(C → E)=1; P(E → V)=

\frac{1}{2}

, P(E → C)=

\frac{1}{4}

, P(E → E)=

\frac{1}{4}

2STEP 2

안 멈추고 n 번 후 중앙·변 확률 C_n, E_n. 처음 멈출 확률 p_n = $\frac{1}{2}$ E_n-1, 답은 p₁+p₂+p₃+p₄ 의 합.

p_n =

\frac{1}{2}

E_n-1, 합 = p₁ + p₂ + p₃ + p₄

3STEP 3

1 번 점프: C 에서 반드시 E 로 가 p₁ = 0, 점프 후 E₁ = 1 (C₁ = 0) — 1 번에 모서리 불가.

p₁ = 0, C₁ = 0, E₁ = 1

4STEP 4

2 번 점프: p₂ = $\frac{1}{2}$ E₁ = $\frac{1}{2}$ . 생존자는 반씩 — C₂ = $\frac{1}{4}$ , E₂ = $\frac{1}{4}$ .

p₂ =

\frac{1}{2}

, C₂ =

\frac{1}{4}

, E₂ =

\frac{1}{4}

5STEP 5

3 번 점프: p₃ = $\frac{1}{2}$ E₂ = $\frac{1}{8}$ . 생존자: C₃ = $\frac{1}{16}$ , E₃ = $\frac{5}{16}$ (중앙 질량이 E 로 되돌아옴).

p₃ =

\frac{1}{8}

, C₃ =

\frac{1}{16}

, E₃ =

\frac{5}{16}

6STEP 6

4 번 점프: p₄ = $\frac{1}{2}$ E₃ = $\frac{5}{32}$ — E₃ 만 있으면 됨 (4 번 이후는 안 셈).

p₄ =

\frac{5}{32}

7STEP 7

배타적 멈춤 합: p₁ + p₂ + p₃ + p₄ = 0 + $\frac{16}{32}$ + $\frac{4}{32}$ + $\frac{5}{32}$ = $\frac{25}{32}$ .

0 +

\frac{16}{32}

\frac{4}{32}

\frac{5}{32}

\frac{25}{32}

정답

\frac{25}{32}

범위 점검. P ≥ p₂ =

\frac{1}{2}

이고 ≤ 1. 우리 답

\frac{25}{32}

≈ 0.78 은 그 사이 — 모서리에 도달 가능성이 꽤 높지만 보장은 아님과 일치. p_n 값: 0,

\frac{1}{2}

\frac{1}{8}

\frac{5}{32}

— 단조감소가 아니고 p₄ ＞ p₃ 인 이유는 E₃ =

\frac{5}{16}

＞ E₂ =

\frac{1}{4}

(C 에서 E 로 흘러들어온 질량 때문). 모두 일관. 답 (D)

\frac{25}{32}

와 일치.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 이미 배운 7학년 확률만 있으면 풀려요 — 대칭으로 3 × 3 격자를 세 종류(중앙·변·모서리) 로 줄이고 전이 확률 P(E → V) = $\frac{1}{2}$ , P(E → C) = P(E → E) = $\frac{1}{4}$ 을 구한 뒤 점프별 멈춤 확률 0 + $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{5}{32}$ = $\frac{25}{32}$ 을 더하면 됩니다.

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