AMC 10 · 2021 · #24

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Lattice or Non-Aligned Polygon Area

coordinate-geometryarea-rectanglesabsolute-value convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: coordinate-geometry

📏 긴 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

(x + a y)² = 4 a² 과 (a x - y)² = a² (a ＞ 0) 의 그래프로 둘러싸인 영역은 사각형입니다. 그 넓이를 a 의 함수로 (모든 a ＞ 0 에 대해 유효한 형태로) 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$~\frac{8a^2}{(a+1)^2}$

(B)

$~\frac{4a}{a+1}$

(C)

$~\frac{8a}{a+1}$

(D)

$~\frac{8a^2}{a^2+1}$

(E)

$~\frac{8a}{a^2+1}$

AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림 그리기) — 네 직선을 스케치하면 두 쌍의 평행선이 수직 기울기로 만나 직사각형임이 한눈에 보임. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) — 직사각형의 가로(평행선 x + a y = ± 2a 사이 거리) 와 세로(a x - y = ± a 사이 거리) 를 따로 계산해 곱함. 도구 #9(더 쉬운 문제) — a = 1 을 넣어 구체적인 정사각형으로 점검. 도구 #3(가능성 지우기) — a = 1 만 넣어도 틀린 선택지 즉시 제거. 도구 #13(대수로 바꾸기) — 평행선 거리 공식 $\frac{|c₁ - c₂|}{√(A² + B²)}$ 로 깔끔히 유도.

1STEP 1

각 제곱식은 두 평행선으로 갈라짐: x + a y = ± 2 a 와 a x - y = ± a — 네 직선, 두 평행 쌍.

x + a y = ± 2 a; a x - y = ± a

2STEP 2

y 에 대해 풀면 기울기 - $\frac{1}{a}$ 와 a, 곱이 a · (- $\frac{1}{a}$ ) = -1 이라 두 쌍은 수직 — 영역은 직사각형.

기울기₁ = -

\frac{1}{a}

, 기울기₂ = a, 곱 = -1

3STEP 3

평행선 x + a y = 2 a 와 -2 a 사이 거리 = $\frac{|c₁ - c₂|}{√(A² + B²)}$ , 그래서 가로 = $\frac{4a}{√(a²+1)}$ .

가로 =

\frac{4 a}{√(a² + 1)}

4STEP 4

같은 공식을 a x - y = ± a 에: 세로 = $\frac{|a - (-a)|}{√(a²+1)}$ = $\frac{2a}{√(a²+1)}$ .

세로 =

\frac{2 a}{√(a² + 1)}

5STEP 5

곱하기: 넓이 = 가로 × 세로 = $\frac{4a}{√(a²+1)}$ · $\frac{2a}{√(a²+1)}$ = $\frac{8a²}{a²+1}$ .

넓이 =

\frac{8 a²}{a² + 1}

6STEP 6

점검: a = 1 이면 넓이 4, a = 2 면 $\frac{32}{5}$ — (C)·(E) 는 a = 2 에서 어긋나고 오직 (D) 만 두 값 일치.

a = 1: 4; a = 2:

\frac{32}{5}

; (D) 만 두 경우 모두 일치

정답

\frac{8a²}{a²+1}

a → 0^+ 일 때: 가로 → 0, 세로 → 0, 넓이 → 0. 공식:

\frac{8 a²}{a² + 1}

→ 0. ✓. a → ∞ 일 때: 가로 ≈ 4, 세로 ≈ 2, 넓이 → 8. 공식:

\frac{8 a²}{a² + 1}

→ 8. ✓. 단조증가, 상한 8. 기하학적 거동이 모두 (D) 와 일치.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 이미 배운 8학년 직선과 피타고라스(평행선 거리) 만 있으면 풀려요 — (X)² = c² 을 식마다 두 평행선으로 인수분해, 기울기 - $\frac{1}{a}$ 과 a 가 수직이라 영역이 직사각형임을 확인, 두 거리 $\frac{4a}{√(a² + 1)}$ · $\frac{2a}{√(a² + 1)}$ = $\frac{8a²}{a² + 1}$ 을 곱하면 됩니다.

비슷한 유형 더 풀어보기