AMC 10 · 2021 · #14

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

chord-perpendicular-from-centerpythagorean-theoremcoordinate-geometryequal-spacing convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremcoordinate-geometry

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

원을 가로지르는 평행한 세 직선이 등간격으로 놓여 있고, 잘리는 현의 길이가 38, 38, 34 입니다. 이웃한 두 평행선 사이의 거리 d 를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$5\frac12$

(B)

(C)

$6\frac12$

(D)

(E)

$7\frac12$

AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림): 원과 중심 O 를 그리고 O 에서 세 평행선으로 수선을 내림. 38 짜리 두 현은 길이가 같으므로 중심에서 같은 거리 — 즉 O 는 두 38 현이 만드는 띠의 정확한 가운데에 위치. 등간격이므로 38 두 현은 바깥쪽 두 선, 34 는 가운데 선, 중심으로부터 거리는 각각 $\frac{d}{2}$ , $\frac{d}{2}$ , $\frac{3d}{2}$ . 도구 #7(쪼개기)로 현마다 직각삼각형(반지름·현의 반·중심거리) 두 개를 분리. 도구 #13(대수)으로 두 피타고라스식을 세워 r² 을 소거하고 d 풀이. 도구 #3으로 (B) 확인.

1STEP 1

길이가 같은 현은 중심에서 같은 거리 — 두 38 현이 바깥쪽 두 선, 34 현이 가운데 선.

O 는 길이 38 인 두 현의 중간에 위치

2STEP 2

따라서 두 38 현은 O 로부터 $\frac{d}{2}$ , 34 현은 $\frac{3d}{2}$ 위치.

h₃8 =

\frac{d}{2}

, h₃4 =

\frac{3d}{2}

3STEP 3

각 현에서 반지름·현의 반 ℓ·중심거리 h 가 직각삼각형을 이룸: h² + ℓ² = r².

h² + ℓ² = r² (각 현마다)

4STEP 4

각 현에 피타고라스: $\frac{d²}{4}$ + 361 = r² (38 현, ℓ = 19), $\frac{9d²}{4}$ + 289 = r² (34 현, ℓ = 17).

\frac{d²}{4}

+ 361 = r² 과

\frac{9d²}{4}

+ 289 = r²

5STEP 5

두 식을 같게 두면 r² 소거: 72 = 2d², 따라서 d² = 36, d = 6 (거리이므로 양의 근).

72 = 2d² → d² = 36 → d = 6

6STEP 6

따라서 d = 6 = (B); 검산 r² = 9 + 361 = 370, r ≈ 19.24 로 38 현이 지름 안에 살짝 들어감.

d = 6 → (B)

정답

역대입: d = 6, h₃8 = 3, h₃4 = 9. 두 피타고라스 검산: 3² + 19² = 9 + 361 = 370, 9² + 17² = 81 + 289 = 370. 두 현 모두 같은 r² = 370 — 일관됨. r = √(370) ≈ 19.24 는 19 =

\frac{38}{2}

바로 위이므로 가장 긴 현이 지름에 거의 닿는 느낌, h₃8 = 3 이 작은 것과 일관. 크기 감각 합리적.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 때 배운 피타고라스 정리만 알면 풀 수 있어요! 중심에서 각 현으로 수선을 내리면 38 현은 거리 $\frac{d}{2}$ , 34 현은 거리 $\frac{3d}{2}$ . 각 현에 피타고라스: 19² + ( $\frac{d}{2}$ )² = 17² + ( $\frac{3d}{2}$ )². 정리하면 2d² = 72, d = 6, 답 (B).

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