AMC 10 · 2021 · #16

학년 4 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

digit-constraintsdivisibility-rulesdigit-sumsystematic-enumeration systematic-enumerationcasework ↑ 선수 지식: divisibility-rulesdigit-sum

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

"오름 정수"는 왼쪽에서 오른쪽으로 자릿수가 엄격하게 커지는 양의 정수입니다 (1357, 89 처럼). 15 로 나누어떨어지는 오름 정수가 몇 개인지 세어보세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

도구 #9 (더 쉬운 문제) — 15 의 배수 판정을 두 갈래로 쪼갭니다. "5 의 배수" 조건에서 끝자리는 0 또는 5 인데, 오름 정수에서 끝이 0 이면 그 앞 자리는 음수가 되어야 해서 불가능. 그러니 끝자리는 반드시 5 이고, 나머지 자리는 모두 {1, 2, 3, 4} 에서 골라옵니다. 후보 풀이 "모든 오름 정수" 에서 "{1,2,3,4} 의 부분집합 뒤에 5" 로 줄어듭니다. 도구 #2 (체계적 나열) 로 크기 순으로 모든 부분집합을 나열하고, 도구 #5 (패턴 — 3 의 배수 판정) 로 자릿수 합이 3 의 배수인 것만 남깁니다. 남은 개수가 답.

1STEP 1

15의 배수 = 3의 배수이자 5의 배수. 오름 정수는 0으로 끝날 수 없으니 끝자리는 5.

15 = 3 × 5, gcd(3,5)=1; 끝자리 = 5

2STEP 2

끝이 5이고 증가하므로 앞자리는 {1, 2, 3, 4}의 부분집합을 순서대로 쓴 것 — 집합만 고르고 끝에 5.

T ⊆ {1,2,3,4} 골라 T 의 자릿수를 증가 순으로 쓰고 끝에 5 붙임

3STEP 3

크기 0 ("5" 만): 자릿수 합 = 5. 3 의 배수 아님. 통과.

5 → 5≢ 0 (mod 3)

4STEP 4

크기 1 (5 앞 한 자리): 15, 25, 35, 45의 합 6, 7, 8, 9; 3의 배수는 15, 45 — 2개.

15{:} 1+5=6✓, 25{:} 7, 35{:} 8, 45{:} 4+5=9✓

5STEP 5

크기 2 (두 자리): 부분집합 6개의 합 8, 9, 10, 10, 11, 12; 135, 345만 3의 배수 — 2개.

135{:} 9✓, 345{:} 12✓ (나머지는 ÷ 3 실패)

6STEP 6

크기 3 (세 자리): 1235, 1245, 1345, 2345의 합 11, 12, 13, 14; 1245만 통과 — 1개.

1245{:} 1+2+4+5=12✓

7STEP 7

크기 4 (1, 2, 3, 4 전체): 12345의 합 15, 3의 배수 — 1개 더. 합계 2 + 2 + 1 + 1 = 6, (C).

12345{:} 15✓; 합 =2+2+1+1=6 → (C)

정답

확인: 15, 45, 135, 345, 1245, 12345 모두 끝이 5 (5 의 배수) 이고 자릿수 합 6, 9, 9, 12, 12, 15 가 모두 3 의 배수 — 진짜 15 의 배수. 빠뜨린 경우는 없음: {1,2,3,4} 의 부분집합은 2⁴ = 16 개이고 우리는 그 16 개 각각의 자릿수 합을 3 으로 나누어 확인. 통과한 6 개가 정답 (C) 와 일치.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 4학년 때 배운 배수 판정법과 꼼꼼한 나열만 알면 풀 수 있어요! 15 의 배수 = 3 의 배수이면서 5 의 배수. 그러니 끝자리는 5, 나머지는 {1,2,3,4} 에서 고르고 자릿수 합이 3 의 배수면 끝 — 모든 부분집합을 나열하면 정확히 6 개가 남습니다.

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