AMC 10 · 2021 · #18

학년 7 probability

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Markov State Probability

probability-basicconditional-probabilitypermutations-basicsymmetry-argument easier-related-problemsymmetry-argument ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

공정한 6 면체 주사위를 홀수 (1, 3, 또는 5) 가 나올 때까지 반복해서 굴립니다. 첫 번째 홀수가 나오기 전에 세 개의 짝수 면 (2, 4, 6) 이 모두 적어도 한 번씩 나올 확률을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$~\frac{1}{120}$

(B)

$~\frac{1}{32}$

(C)

$~\frac{1}{20}$

(D)

$~\frac{3}{20}$

(E)

$~\frac{1}{6}$

AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

도구 #9 (더 쉬운 문제) — 굴리는 횟수를 다 추적하지 말고, 여섯 면이 "처음 등장하는 순서" 만 봅니다. 주사위 대칭성으로 이 순서는 {1, 2, 3, 4, 5, 6} 의 6! 가지 순열 중 균등 분포. "홀수가 처음 나오기 전에 모든 짝수 등장" 사건은 "이 순열에서 2, 4, 6 이 앞 세 자리" 사건과 같음 — 깔끔한 조합론으로 변환. 도구 #5 (패턴) 가 대칭성 정당화에, 도구 #6 (확인) 으로 순차 곱셈식 $\frac{3}{6}$ · $\frac{2}{5}$ · $\frac{1}{4}$ 으로 답을 교차 검증.

1STEP 1

여섯 면이 처음 등장하는 순서만 보면, 대칭성에 의해 6! 개 순서가 모두 같은 확률.

첫 등장 순서 ∼ S₆ 위의 균등 분포

2STEP 2

유리한 순서는 2, 4, 6 이 앞 세 자리에 오는 것: 3! · 3! = 36 가지, 전체 6! = 720.

#유리 = 3! · 3! = 6 · 6 = 36; #전체 = 6! = 720

3STEP 3

유리한 경우를 전체로 나누면 $\frac{36}{720}$ = $\frac{1}{20}$ , 곧 (C).

P =

\frac{3! · 3!}{6!}

\frac{36}{720}

\frac{1}{20}

→ (C)

4STEP 4

순차 검증: 새 면이 짝수일 확률이 $\frac{3}{6}$ , $\frac{2}{5}$ , $\frac{1}{4}$ 로 이어져 곱하면 $\frac{1}{20}$ .

\frac{3}{6}

\frac{2}{5}

\frac{1}{4}

\frac{6}{120}

\frac{1}{20}

정답

\frac{1}{20}

두 방법 모두 — 대칭 / 순열 셈

\frac{3! · 3!}{6!}

\frac{1}{20}

과 순차 곱셈

\frac{1}{2}

\frac{2}{5}

\frac{1}{4}

\frac{1}{20}

이 일치하므로 답이 견고.

\frac{1}{20}

= 5% 라는 크기도 직관에 부합: 특정 면 하나만 나올

\frac{1}{6}

보다 어렵지만, 여섯 면 전체의 특정 순서

\frac{1}{120}

보다는 쉬움.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 7학년 때 배운 확률만 알면 풀 수 있어요! 주사위가 반복은 잊고 "새 면이 처음 등장하는 순서" 만 기록한다고 상상하면, 여섯 면의 순서가 모두 같은 확률. "홀수보다 짝수 셋이 먼저" 는 "2, 4, 6 이 앞 세 자리" 이므로 $\frac{3! · 3!}{6!}$ = $\frac{1}{20}$ .

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