AMC 10 · 2021 · #20

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

equilateral-trianglearea-trianglesthirty-sixty-ninety-trianglearea-difference identify-subproblemsarea-difference ↑ 선수 지식: area-trianglesequilateral-triangle

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

오각형 ABCDE 와 내부 점 F, G 가 함께 11 개의 선분 — 모두 길이 2 — 으로 그려져 있습니다. 오각형의 넓이가 양의 정수 m, n 에 대해 √(m) + √(n) 으로 표현됩니다. m + n 을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

~20

(B)

~21

(C)

~22

(D)

~23

(E)

~24

AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1 (그림 그리기) — 오각형과 11 개 길이-2 선분을 모두 표시. 그러면 네 정삼각형 (△ ABF, △ BCF, △ AGE, △ GDE) 이 한눈에 보이고, B 와 E 에서 120° 가 두 인접한 60° 의 합으로 드러납니다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기) — 대각선 AC, AD 로 오각형을 세 삼각형 △ ABC, △ AED, △ ACD 로 분할. 각 삼각형은 기초 도형 사실로 따로 계산하고 합치면 끝. 도구 #17 (공간 상상) 으로 좌우 대칭을 활용해 △ ABC 만 한 번 계산하면 △ AED 도 같음을 인지.

1STEP 1

모든 선분이 2 → △ ABF, BCF, AEG, EDG 는 정삼각형, 내각 60°.

AB = BF = AF = 2 → △ ABF 정삼각형, ∠ ABF = 60°; 나머지 셋도 마찬가지

2STEP 2

B 에서 BF 가 ∠ ABC 를 두 60° 로 나눠 ∠ ABC = 120°; 대칭으로 ∠ AED 도 120°.

∠ ABC = 60° + 60° = 120°; ∠ AED = 120°

3STEP 3

대각선 AC, AD 로 오각형을 세 삼각형 △ ABC, △ AED, 가운데 △ ACD 로 나눠 넓이를 더함.

[ABCDE] = [ABC] + [ACD] + [AED]

4STEP 4

△ ABC 는 두 변 2, 2 와 끼인각 120° → [ABC] = ½·2·2·sin 120° = √(3).

[ABC] =

\frac{1}{2}

(2)(2)sin 120° = 2 ·

\frac{√(3)}{2}

= √(3)

5STEP 5

좌우 대칭으로 △ AED 는 △ ABC 와 합동 → [AED] = √(3).

[AED] = √(3)

6STEP 6

△ ABC 에 코사인 법칙: AC² = 4 + 4 - 8cos 120° = 12 → AC = AD = 2√(3) (CD = 2 는 주어짐).

AC² = 4 + 4 + 4 = 12, AC = AD = 2√(3)

7STEP 7

△ ACD 는 이등변 (등변 2√(3), 밑변 2); 높이 √(12 - 1) = √(11) → [ACD] = √(11).

AM = √(12 - 1) = √(11); [ACD] =

\frac{1}{2}

(2)(√(11)) = √(11)

8STEP 8

합: 2√(3) + √(11) = √(12) + √(11) (2√(3) = √(12)) → m + n = 23.

[ABCDE] = √(12) + √(11) → m + n = 12 + 11 = 23 → (D)

정답

~23

크기 확인: √(12) ≈ 3.46, √(11) ≈ 3.32 이므로 오각형 넓이 ≈ 6.78. 오각형의 "폭" 은 대략 |BE| ≈ 3 (두 정삼각형 중심의 가로 간격) 이고 "높이" 는 대략 2 이므로 넓이 ≈ 7 은 자연스러운 범위. 각 귀 삼각형의 넓이 √(3) ≈ 1.73 도 변이 2, 2 이고 끼인 각이 120° 인 삼각형으로 타당. 답의 형식 √(m) + √(n) 이 작은 정수 m, n ≈ 12 인 점도 20–24 의 선택지 범위와 일치 — m + n = 23 이 정확히 (D).

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 때 배운 피타고라스 추론만 알면 풀 수 있어요! 대각선 AC, AD 로 오각형을 잘라 — 양쪽 귀 삼각형은 꼭짓각 120° 인 넓이 √(3) 씩, 가운데 이등변삼각형은 수선 √(11), 넓이 √(11). 합 = 2√(3) + √(11) = √(12) + √(11), 그러니 m + n = 23.

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