AMC 10 · 2021 · #23

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

geometric-probabilityarea-trianglesarea-circlesminkowski-sum identify-subproblemsarea-difference ↑ 선수 지식: geometric-probabilityarea-triangles

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

8 × 8 흰 정사각형 안에 검은 영역 5 개: 중앙의 다이아몬드 (한 변 2√(2) 인 정사각형을 45° 회전), 그리고 네 모서리 각각의 이등변 직각삼각형 (다리 2). 지름 1 인 동전을 무작위로 떨어뜨려 동전이 8 × 8 정사각형 안에 완전히 들어가는 모든 위치 중 균일 분포로 한 곳에 놓는다. 동전이 검은 영역과 겹칠 확률은

\frac{1}{196}

(a + b√(2) + π) (a, b 양의 정수) 형태이다. a + b 를 구하시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

~64

(B)

~66

(C)

~68

(D)

~70

(E)

~72

AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1 (그림 그리기) — 8 × 8 정사각형 안에 다섯 검은 영역과 동전 중심이 갈 수 있는 영역을 그린다. 도구 #9 (더 쉬운 문제) — "동전이 검은 영역과 겹침" 을 "중심이 검은 영역과 거리 $\frac{1}{2}$ 이내" 로 치환 (기하 확률의 표준 기법). 도구 #7 (쪼개기) — 유리 영역을 (a) 다이아몬드 + 버퍼, (b) 모서리 삼각형 네 개 + 버퍼 로 분리; 둘은 안 겹침. 도구 #10 (직접 만져보기) — 종이 모형으로 동전을 굴려보면 버퍼가 어떻게 생기는지 손으로 확인. 도구 #3 (가능성 지우기) — 마지막 a + b 가 다섯 정수 중 하나여야 함.

1STEP 1

동전 (반지름 $\frac{1}{2}$ ) 중심이 7 × 7 정사각형 안에 있어야 하므로 표본공간 넓이는 49.

A_sample = 7 × 7 = 49

2STEP 2

"동전이 검은 영역과 겹침" 을 "중심이 검은 영역과 거리 $\frac{1}{2}$ 이내" 로 바꾸면 다이아몬드와 모서리 버퍼가 안 겹쳐 따로 더하면 됨.

F = {p : d(p, 검정) ≤

\frac{1}{2}

} ∩ 표본

3STEP 3

한 변 2√(2) 다이아몬드 (넓이 8) 를 부풀리면 직사각형 4개 (4√(2)) + 원 하나 ( $\frac{π}{4}$ ) 가 붙어 8 + 4√(2) + $\frac{π}{4}$ .

A_diamond = 8 + 4√(2) +

\frac{π}{4}

4STEP 4

왼쪽 아래 삼각형의 유리 영역 경계는 x = $\frac{1}{2}$ , y = $\frac{1}{2}$ , 그리고 빗변을 $\frac{1}{2}$ 밀어낸 x + y = 2 + $\frac{√(2)}{2}$ .

경계선: x =

\frac{1}{2}

, y =

\frac{1}{2}

, x + y = 2 +

\frac{√(2)}{2}

5STEP 5

그 모서리는 다리 1 + $\frac{√(2)}{2}$ 직각삼각형, 넓이 $\frac{<span class="hl-ask">3 + 2√(2)</span>}{4}$ ; 대칭인 네 모서리 합쳐 3 + 2√(2).

A_한 모서리 =

\frac{3 + 2√(2)}{4}

, A_네 모서리 = 3 + 2√(2)

6STEP 6

안 겹치는 두 넓이를 더하면 11 + 6√(2) + $\frac{π}{4}$ = $\frac{44 + 24√(2) + π}{4}$ .

A_F =

\frac{44 + 24√(2) + π}{4}

7STEP 7

49 로 나누면 P = $\frac{1}{196}$ (44 + 24√(2) + π), 따라서 a = 44, b = 24, a + b = 68, 선택지 (C).

P =

\frac{1}{196}

(44 + 24√(2) + π); a + b = 68 → (C)

정답

~68

감각 점검. P =

\frac{44 + 24√(2) + π}{196}

≈

\frac{44 + 33.9 + 3.14}{196}

≈

\frac{81.0}{196}

≈ 0.413. 약 41% — 검은 영역의 단순 비율은

\frac{16}{64}

= 25% 인데 동전이 영역의 경계 근처에 떨어져도 "겹침" 으로 카운트되니 더 큰 ∼ 40% 가 합리적. 계수 매칭: a + b = 68 은 다섯 선택지 중 정확히 가운데 — 너무 작거나 (64, 66) 너무 크지 (70, 72) 도 않은 균형 잡힌 값.

💡핵심 정리

이 어려운 AMC 10 문제도 사실 7-8학년 "넓이와 거리" 만으로 풀려요 — "동전이 검은 영역과 겹침" 을 "중심이 거리 $\frac{1}{2}$ 이내" 로 바꾸면, 유리 영역이 중앙 버퍼 다이아몬드 (8 + 4√(2) + $\frac{π}{4}$ ) + 네 작은 모서리 삼각형 ( $\frac{3 + 2√(2)}{4}$ 씩) 로 깔끔하게 나뉘어, 확률 $\frac{44 + 24√(2) + π}{196}$ , 답 a + b = 68.

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