AMC 10 · 2021 · #7

학년 7 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Nested Frame / Concentric Difference

area-circlestangent-circlessymmetry-argumentset-partition identify-subproblemscaseworksymmetry-argument ↑ 선수 지식: area-circles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

반지름이 각각 1, 3, 5, 7 인 네 개의 원이 모두 직선 ℓ 위의 같은 점 A 에서 접합니다. 각 원은 ℓ 의 위쪽이나 아래쪽 어느 쪽에 둘 수도 있습니다. 영역 S 는 정확히 한 원 안에만 들어가는 점들의 집합. 위/아래 배치를 골라 S 의 넓이를 최대로 만드세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$24\pi$

(B)

$32\pi$

(C)

$64\pi$

(D)

$65\pi$

(E)

$84\pi$

AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림 그리기): 같은 쪽에 접한 두 원을 그려보면 자동으로 겹쳐 쌓이고 '정확히 한 원' 영역은 바깥 고리만 남음. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기): S 를 '위쪽 기여' + '아래쪽 기여' 로 분리 — 두 영역이 점 A 만 공유. 도구 #2(빠짐없이 나열하기): {1, 3, 5, 7} 을 두 쪽으로 가르는 본질적으로 다른 분할을 표로 나열. 도구 #3(가능성 지우기): 최대값을 주는 분할을 골라 선택지와 매칭. 큰 원 7 과 5 를 서로 다른 쪽에 둬야 양수 기여가 커지고, 작은 원 3, 1 은 큰 원 안에 숨겨 손실을 최소화.

1STEP 1

A 에서 접한 두 원이 같은 쪽에 있으면 작은 원이 큰 원 안에 완전히 포함 — 마트료시카처럼 포개짐.

같은 쪽, r₁ ＞ r₂ ⟹ 원(r₂) ⊂ 원(r₁)

2STEP 2

S 를 점 A 에서 위쪽·아래쪽으로 쪼개면 각 쪽 '정확히 하나'는 바깥 고리뿐, 넓이 π r₁² - π r₂².

넓이(S) = [π u₁² - π u₂²] + [π d₁² - π d₂²]

3STEP 3

네 넓이는 π, 9π, 25π, 49π; 합 84π 는 상한일 뿐, 모두 A 에서 접하므로 도달 불가.

A₁ = π, A₃ = 9π, A₅ = 25π, A₇ = 49π, 합 = 84π

4STEP 4

{1, 3, 5, 7} 분할을 나열 — 큰 두 반지름 7 과 5 를 서로 다른 쪽에 두면 3, 1 배치는 세 가지.

U / D ∈ {{7,3,1}/{5}, {7,3}/{5,1}, {7}/{5,3,1}}

5STEP 5

경우 A {7,3,1}/{5}: 40π+25π=65π. B {7,3}/{5,1}: 64π. C {7}/{5,3,1}: 65π.

A: 65π, B: 64π, C: 65π

6STEP 6

최댓값 65π — 3 을 7 안에(A) 또는 3, 1 을 5 안에(C) 숨김. 반지름 1 원은 늘 낭비 — 답 (D).

max넓이(S) = 65π → (D)

정답

65π

합리성: S 의 절대 상한은 모든 원이 서로 안 겹칠 때의 84π — 그게 (E). 그러나 모두 같은 점 A 에서 접해야 하므로 항상 작은 원이 큰 원에 포함됨 — {3, 1} 중 적어도 하나는 손실. 사례 분석으로 65π 가 최대. (E) 84π 미만, (B) 32π 같이 작은 값은 비효율적 배치에 해당.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 7학년 원 넓이 π r² 만 알면 풀 수 있어요 — 큰 반지름 7 과 5 를 서로 다른 쪽에 두고 작은 3, 1 은 큰 원 안에 숨겨요. 그러면 각 쪽 '정확히 하나' 영역은 가장 큰 고리뿐 — 최선 합 (49π - 9π) + 25π = 65π, 답 (D).

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