AMC 10 · 2021 · #9

학년 8 arithmetic

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

coordinate-geometryrotation-isometryreflection-symmetrytransformations-composition work-backwardsidentify-subproblems ↑ 선수 지식: coordinate-geometryreflection-symmetry

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

미지의 점 P(a, b) 가 있습니다. 먼저 점 (1, 5) 를 중심으로 반시계방향 90° 회전하고, 그 다음 직선 y = -x 에 대해 대칭. 두 변환 후의 점이 (-6, 3) 이 됨. b - a 를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 거꾸로 풀기

도구 #11(거꾸로 풀기): 끝 상태가 주어지고 처음을 묻는 전형적 문제 — 대칭 역, 회전 역 순으로 풀기. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기): 각 변환의 역은 독립적 1단계. 도구 #1(그림 그리기): 좌표평면에 네 점(최종, 회전 직후, 회전 중심 C, P)을 표시해 부호 실수 방지. 도구 #3(가능성 지우기): 답이 모두 홀수 {1,3,5,7,9} — a, b 가 정수면 b-a 의 홀짝성으로 sanity check 가능.

1STEP 1

y = -x 대칭은 자기 역이라 (-6, 3) 에 다시 적용하면 (-3, 6) — 회전 직후의 점.

(-6, 3) → (-(3), -(-6)) = (-3, 6)

2STEP 2

회전을 되돌리려 먼저 C 가 원점에 오게 평행이동: (-3, 6) - (1, 5) = (-4, 1).

(-3, 6) - (1, 5) = (-4, 1)

3STEP 3

원점 중심 시계방향 90° 회전 규칙 (x, y) → (y, -x) 적용: (-4, 1) 은 (1, 4).

(-4, 1) → (1, -(-4)) = (1, 4)

4STEP 4

C 를 다시 더해 복귀: (1, 4) + (1, 5) = (2, 9), 즉 P = (a, b), a = 2, b = 9.

(1, 4) + (1, 5) = (2, 9) = (a, b)

5STEP 5

뺄셈: b - a = 9 - 2 = 7, 답 (D).

b - a = 9 - 2 = 7 → (D)

정답

P = (2, 9) 에서 정방향 변환을 적용해 확인. -C 평행이동: (2, 9) - (1, 5) = (1, 4). 원점 중심 90° CCW 회전 (규칙 (x, y) → (-y, x)): (1, 4) → (-4, 1). +C 평행이동: (-4, 1) + (1, 5) = (-3, 6). y = -x 대칭: (-3, 6) → (-6, 3). 최종 (-6, 3) 일치 ✓. b - a = 7 확정.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 변환 규칙만 알면 풀 수 있어요 — y = -x 대칭은 자기 역이라 한 번 더 적용해 회전 직후 점을 복원, 그 다음 평행이동 + 90° CW 회전 + 평행이동으로 P 복원. (-6, 3) → (-3, 6) → (2, 9) = (a, b), b - a = 7, 답 (D).

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