AMC 10 · 2022 · #15

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

pythagorean-theoreminteger-pythagorean-triplesarea-trianglesarea-circles identify-subproblemsarea-differencepattern-recognition ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

사각형 ABCD 의 변의 길이가 AB = 7, BC = 24, CD = 20, DA = 15 이고 원에 내접합니다. 원의 내부이면서 사각형의 외부인 영역의 넓이가

\frac{a\pi - b}{c}

(a, b, c 는 양의 정수, a 와 c 는 공통 소인수가 없음) 로 표현될 때 a + b + c 를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

260

(B)

855

(C)

1235

(D)

1565

(E)

1997

AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림): 변 7, 24, 20, 15 순으로 내접 사각형을 그리고 대각선 AC 를 그으면 도형이 두 삼각형으로 갈라집니다. 도구 #5(패턴)이 핵심 통찰: 7-24-?? 와 15-20-?? 가 유명한 피타고라스 삼조(7-24-25 와 3-4-5 의 5 배인 15-20-25) 를 외치고 있음. 두 삼각형이 공유하는 대각선이 정확히 25 라는 사실은 B 와 D 에서 직각을 강제하고, ∠ B + ∠ D = 90° + 90° = 180° 이므로 내접 조건과 일치. 반원에 내접한 직각은 지름을 마주보므로 AC 가 원의 지름. 도구 #7(쪼개기)이 (a) 반지름 $\frac{25}{2}$ 의 원 넓이, (b) 두 직각삼각형 넓이의 합, (c) 차이로 $\frac{a\pi - b}{c}$ 형태, (d) a, b, c 합으로 작업을 나눕니다.

1STEP 1

대각선 AC 를 그어 ABCD 를 두 삼각형 △ABC (변 7, 24) 와 △ACD (변 15, 20) 로 나눕니다.

분할: △ ABC (변 7, 24, AC) 과 △ ACD (변 15, 20, AC)

2STEP 2

둘 다 유명한 피타고라스 삼조 7-24-25, 15-20-25 라서 공통 대각선 AC = 25, B 와 D 에서 직각.

7² + 24² = 25² → ∠ B = 90°; 15² + 20² = 25² → ∠ D = 90°; AC = 25

3STEP 3

B, D 의 직각이 모두 현 AC 를 마주보므로 탈레스에 의해 AC 는 지름, 반지름 r = $\frac{25}{2}$ .

AC = 지름 → r =

\frac{25}{2}

4STEP 4

원의 넓이 = π r² = π · ( $\frac{25}{2}$ )² = $\frac{625\pi}{4}$ .

A_원 = π ·

\frac{625}{4}

\frac{625\pi}{4}

5STEP 5

두 직각삼각형 넓이 합: $\frac{1}{2}$ · 7 · 24 = 84, $\frac{1}{2}$ · 15 · 20 = 150, 사각형 넓이는 234.

A_사각 =

\frac{1}{2}

(7)(24) +

\frac{1}{2}

(15)(20) = 84 + 150 = 234

6STEP 6

분모 4 로 통분해 빼면 $\frac{625\pi}{4}$ - 234 = $\frac{625\pi}{4}$ - $\frac{936}{4}$ = $\frac{625\pi - 936}{4}$ .

\frac{625\pi}{4}

- 234 =

\frac{625\pi}{4}

\frac{936}{4}

\frac{625\pi - 936}{4}

7STEP 7

형식에서 a = 625, b = 936, c = 4 (5⁴ 와 2² 는 공통 소인수 없음), 따라서 a + b + c = 1565.

a + b + c = 625 + 936 + 4 = 1565

8STEP 8

1565 는 선택지 (D) 와 일치.

1565 → (D)

정답

1565

크기 점검. 원 넓이

\frac{625\pi}{4}

≈ 490.9, 사각형 넓이 234, 차 ≈ 256.9 — "원 안 사각형 밖" 의 양수, 자연스러움. 지름 25 도 그림과 일관: 최장 변 24 는 지름보다 약간 작고, 최단 변 7 은 현으로 넉넉히 들어맞음. 1565 최종 점검: 625 + 936 = 1561, +4 = 1565. ✓

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 때 배운 피타고라스 삼조 패턴만 알면 풀 수 있어요! 변 7, 24 와 15, 20 은 유명한 삼조 7-24-25 와 15-20-25. 두 삼각형이 같은 빗변 AC = 25 를 공유하므로 그것이 원의 지름. 원 넓이 $\frac{625\pi}{4}$ 에서 사각형 넓이 234 를 빼면 $\frac{625\pi - 936}{4}$ , 따라서 a + b + c = 625 + 936 + 4 = 1565 이에요.

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