AMC 10 · 2022 · #9

학년 7 geometry-2d

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Ordered Placement Count

combinations-basiccaseworksystematic-enumeration caseworkidentify-subproblems ↑ 선수 지식: combinations-basic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

직사각형이 다섯 개의 직사각형 구역으로 나뉘어 있습니다. 빨강·주황·노랑·파랑·초록 중 한 색으로 각 구역을 칠하되, 변을 공유하는 두 구역은 서로 다른 색이어야 합니다. 색은 여러 번 써도 됩니다. 가능한 칠하기의 수를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

120

(B)

270

(C)

360

(D)

540

(E)

720

AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림 그리기) — 그림을 그대로 옮겨 어느 구역이 어느 구역과 변을 공유하는지 인접 관계를 표시. 그 인접도가 곧 문제 전부. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) — 다섯 개의 부분 계산으로 나누고 곱셈 원리로 합칩니다. 색칠 순서가 핵심 — 각 새 구역이 이미 칠해진 이웃을 최대 두 개만 갖도록 순서를 정하면 매 단계 5 에서 최대 2 만 빼면 됨. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 보조 — 인접 목록을 표로 정리하면 "앞선 이웃 두 개" 검사가 쉬워집니다.

1STEP 1

그림에서 인접 읽기 — BC 는 나머지 네 구역 모두와 닿고, 안 닿는 쌍은 대각선 TL–BR, BL–TR 둘뿐.

인접쌍: {TL - BL, TL - BC, TL - TR, TR - BC, TR - BR, BL - BC, BC - BR}

2STEP 2

TL, BL, BC, TR, BR 순서로 칠하면 새 구역마다 이미 칠한 이웃이 최대 둘 (개수 0, 1, 2, 2, 2).

순서: TL→BL→BC→TR→BR; 앞선 이웃: 0,1,2,2,2

3STEP 3

TL 은 자유(5), BL 은 TL 을 피해 4, BC 는 TL·BL 모두 피하는데 둘이 서로 달라 정확히 두 색이 막혀 3 남음.

TL:5, BL:4, BC:3

4STEP 4

TR 은 TL·BC(서로 인접이라 다름)를 피해 3, BR 은 TR·BC(인접)를 피해 3.

TR:3, BR:3

5STEP 5

곱셈 원리로 구역별 선택 수를 곱해 총 540 가지에 도달합니다.

5 × 4 × 3 × 3 × 3 = 20 × 27 = 540 → (D)

정답

540

구조 점검 — 인접 그래프는 5 꼭짓점·7 변, BC 가 차수 4 의 허브에 TL–BL–BC–TR–TL 사이클 + TR–BR–BC 삼각형 구조. 표준 채색 수 공식과 일치, (D) 540. (A) 120 = 5! 은 다섯 구역이 모두 서로 인접한 완전그래프일 때, (E) 720 = 6! 은 무관, (B), (C) 는 BC 의 제약을 잘못 세었을 때 (4 를 곱하는 등) 나오는 값.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 7학년 곱셈 원리만 알면 풀 수 있어요 — 어느 구역끼리 닿는지 그림으로 표시하고, 새 구역이 앞선 이웃을 최대 두 개만 갖는 순서로 칠해, 5 · 4 · 3 · 3 · 3 = 540.

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