AMC 10 · 2022 · #16

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

pythagorean-theoremsimilar-trianglescoordinate-geometryarea-trianglesarea-rectangles identify-subproblemsarea-differencecomplementary-counting ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremsimilar-triangles

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

4 × 8 직사각형 안에 변의 길이가 5 인 정사각형이 들어 있습니다. 정사각형의 세 꼭짓점이 직사각형의 서로 다른 세 변 (아래, 오른쪽, 위) 위에 놓여 있습니다. 두 도형이 겹치는 영역의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$15\dfrac{1}{8}$

(B)

$15\dfrac{3}{8}$

(C)

$15\dfrac{1}{2}$

(D)

$15\dfrac{5}{8}$

(E)

$15\dfrac{7}{8}$

AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1 (그림): 직사각형을 [0,8] × [0,4] 좌표에 올려놓기. 도구 #7 (쪼개기): 정사각형의 비스듬한 변과 직사각형 아래/오른쪽 변이 만드는 두 직각삼각형이 모두 3-4-5 — 이것으로 모든 꼭짓점의 좌표가 결정됩니다. 도구 #16 (관점 바꾸기): 겹치는 영역 (오각형) 을 직접 구하는 대신, 정사각형 전체 넓이 (25) 에서 직사각형 위로 삐져나간 작은 삼각형을 빼는 쪽이 훨씬 깔끔합니다.

1STEP 1

직사각형을 좌표에 놓고, 변 위 꼭짓점 A(위)·B(아래)·C(오른)를 잡으면 AB = BC = 5.

AB = BC = 5, ∠ ABC = 90°

2STEP 2

A 에서 아래 변에 수선을 내리면 세로 4·빗변 5, 남은 변은 3 — 3-4-5 삼각형.

A'B = √(25 - 16) = 3

3STEP 3

B 의 반대쪽 삼각형도 3-4-5, 따라서 A = (1, 4), B = (4, 0), C = (8, 3).

A = (1, 4), B = (4, 0), C = (8, 3)

4STEP 4

ABCD 가 정사각형이므로 D = (5, 7); 높이 7 이 윗변 y = 4 위로 3 튀어나옴.

D = (1+4, 4+3) = (5, 7)

5STEP 5

변 CD (C(8,3)→D(5,7), 기울기 - $\frac{4}{3}$ ) 가 윗변 y = 4 와 만나는 점 G = ( $\frac{29}{4}$ , 4).

G = (

\frac{29}{4}

, 4)

6STEP 6

삐져나간 조각은 삼각형 A-G-D: 밑변 $\frac{25}{4}$ , 높이 3, 넓이 = $\frac{1}{2}$ · $\frac{25}{4}$ · 3 = $\frac{75}{8}$ .

바깥 넓이 =

\frac{1}{2}

\frac{25}{4}

· 3 =

\frac{75}{8}

7STEP 7

관점 바꾸기: 겹친 넓이 = 25 - $\frac{75}{8}$ = $\frac{125}{8}$ = 15 $\frac{5}{8}$ , 선택지 (D).

25 -

\frac{75}{8}

\frac{125}{8}

= 15

\frac{5}{8}

정답

\frac{5}{8}

겹친 부분은 정사각형 (25) 보다도 작고 직사각형 (32) 보다도 작아야 하는데, 15

\frac{5}{8}

는 둘 다 만족합니다. 삐져나간 삼각형 넓이

\frac{75}{8}

≈ 9.4 는 밑변 ≈ 6.25, 높이 3 의 삼각형으로서 자연스러운 크기. 선택지가 15

\frac{1}{8}

부터 15

\frac{7}{8}

까지

\frac{1}{8}

간격으로 촘촘해서,

\frac{75}{8}

을 정확히 계산해야만 답이 갈립니다.

💡핵심 정리

숨어 있는 두 개의 3-4-5 직각삼각형이 정사각형의 모든 꼭짓점을 잡아 줍니다. 정사각형 위쪽 꼭짓점 (5, 7) 이 직사각형 밖으로 삐져나가니까, 그 작은 삼각형 (넓이 $\frac{75}{8}$ ) 을 잘라 내면 남는 게 25 - $\frac{75}{8}$ = 15 $\frac{5}{8}$ , 선택지 (D).

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