AMC 10 · 2022 · #2

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

pythagorean-theoreminteger-pythagorean-triplesarea-rectangles identify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

마름모 ABCD 에서 변 AD 위의 점 P 가 변을 AP = 3 과 PD = 2 로 나누고, BP 는 AD 와 수직입니다. 마름모의 넓이를 구합니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$3\sqrt 5$

(B)

(C)

$6\sqrt 5$

(D)

(E)

AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

그림은 이미 있지만, 핵심은 문제의 조건 — AP=3, PD=2, P 에서 직각 — 을 그림 위에 표시하는 것입니다. 도구 #1(그림 그리기)이 라벨을 정리해 주면, BP 가 밑변 AD 에 대한 마름모의 높이임이 바로 보입니다. 그 다음은 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 두 단계: 직각삼각형 APB 에서 BP 를 먼저 구하고, 평행사변형 넓이 공식 "밑변 × 높이" 에 대입.

1STEP 1

P 가 AD 위에 있으니 AD = AP + PD = 5, 마름모는 네 변이 같아 AB = 5.

AD = 3 + 2 = 5, AB = AD = 5

2STEP 2

직각삼각형 APB 에서 AP = 3, 빗변 AB = 5 이므로 피타고라스로 BP = 4.

AP² + BP² = AB² → 3² + BP² = 5² → BP² = 25 - 9 = 16 → BP = 4

3STEP 3

마름모도 평행사변형이라 넓이 = 밑변 × 높이 = AD × BP = 5 × 4 = 20.

넓이 = AD × BP = 5 × 4 = 20

정답

그림으로 다시 점검: 한 변이 5 인 마름모의 넓이는 정사각형일 때의 5 × 5 = 25 가 최대. 높이 BP = 4 는 한 변보다 살짝 작으므로 마름모는 정사각형에 거의 가깝지만 그것은 아닌 상태 — 넓이 20 은 [0, 25] 구간에 자연스럽게 들어가고 선택지 (D) 와 맞습니다. 또 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5² 으로 3-4-5 삼각형도 정확히 확인됩니다.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 "3-4-5 직각삼각형" 만 알면 풀 수 있어요 — BP 가 4 로 떨어지면 마름모 넓이는 5 × 4 = 20 으로 마무리됩니다.

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