경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 10 · 2022B · #5

학년 8 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation

fraction-arithmeticdifference-of-squarespolynomial-factoringexponents identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticdifference-of-squares

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

((1 +

\frac{1}{3}

)(1 +

\frac{1}{5}

)(1 +

\frac{1}{7}

))/(√((1 -

\frac{1}{3²}

)(1 -

\frac{1}{5²}

)(1 -

\frac{1}{7²}

)))의 값을 구합니다. 분자와 근호 안에는 숨은 연결이 있습니다 — 1 -

\frac{1}{n²}

= (1 -

\frac{1}{n}

)(1 +

\frac{1}{n}

)로 쪼개면 분자에 있는 (1 +

\frac{1}{n}

) 들이 근호 안에도 그대로 나타납니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\sqrt3$

(B)

(C)

$\sqrt{15}$

(D)

(E)

$\sqrt{105}$

AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 식을 세 단계로 — (가) 근호 안을 인수분해, (나) 비율을 단순화, (다) 마지막 계산. 도구 #13(대수로 바꾸기)이 (가)의 지렛대 "제곱의 차" a² - b² = (a - b)(a + b)를 1 - 1/n²에 적용합니다. 그러면 전체가 하나의 깔끔한 분수의 제곱근으로 정리되고 약분이 한 번에 마무리. 도구 #6(추측하고 확인하기)은 객관식 안전망 — 답이 √(3), 2, √(15), 4, √(105) 중 하나이므로 수치가 나오면 바로 대조 가능.

1STEP 1

각 인수 쪼개기

근호 안 각 인수에 제곱의 차를 적용: 1 - $\frac{1}{n²}$ = (1 - $\frac{1}{n}$ )(1 + $\frac{1}{n}$ ) (n = 3, 5, 7).

D = (1 - 1/3)(1 + 1/3)(1 - 1/5)(1 + 1/5)(1 - 1/7)(1 + 1/7)

2STEP 2

짝 맞춰 묶기

M = (1 - $\frac{1}{3}$ )(1 - $\frac{1}{5}$ )(1 - $\frac{1}{7}$ )로 두면 분자 N 이 근호 안에 N · M 로 나타나 전체가 √( $\frac{N}{M}$ ) 로 압축.

N/√(D) = N/(√(N · M)) = √(N/M)

3STEP 3

N과 M 계산하기

N 과 M 의 각 단순 분수를 계산 (공통분모로 더하기·빼기).

N = 4/3 · 6/5 · 8/7, M = 2/3 · 4/5 · 6/7

4STEP 4

N을 M으로 나누기

$\frac{N}{M}$ 을 만들면 3 · 5 · 7이 약분되고 4와 6도 사라져 $\frac{N}{M}$ = 4 만 남습니다.

N/M = ((4 · 6 · 8)/(3 · 5 · 7))/((2 · 4 · 6)/(3 · 5 · 7)) = (4 · 6 · 8)/(2 · 4 · 6) = 8/2 = 4

5STEP 5

제곱근 구하기

비율에 제곱근을 취하면 √4로 최종 값 2 가 나옵니다.

√(N/M) = √(4) = 2 → (B)

정답

어림 검산. 1 +

\frac{1}{n}

은 1 보다 살짝 크고, 1 -

\frac{1}{n}

은 살짝 작으므로

\frac{1 + \frac{1}{n}}{1 - \frac{1}{n}}

은 1 보다 조금 큼. n = 3, 5, 7에 대한 곱은 1 보다 크고 10 보다 훨씬 작은 범위, 제곱근까지 씌우면 1에 더 가까워집니다. 값 2가 그 크기 감각과 정확히 맞고, 약분 4 · 6 · 8 = 2 · 4 · 6 · 4로 √(4) = 2가 근사가 아닌 정확한 값임이 보장됩니다.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 "1 - $\frac{1}{n²}$ = (1 - $\frac{1}{n}$ )(1 + $\frac{1}{n}$ )" 만 알면 풀 수 있어요 — 이 인수분해 한 줄에 거대한 분수가 무너져 √(4) = 2가 됩니다.

각 인수 쪼개기
짝 맞춰 묶기
N과 M 계산하기
N을 M으로 나누기
제곱근 구하기

가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.

각 인수 쪼개기

짝 맞춰 묶기

N과 M 계산하기

N을 M으로 나누기

제곱근 구하기

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