AMC 10 · 2022 · #7

학년 7 algebra

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polynomial-factoringpolynomial-rootsvieta-formulasfactorssystematic-enumeration systematic-enumerationpattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: polynomial-factoringfactors

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

이차식 x² + kx + 36 이 서로 다른 두 정수 근을 갖도록 하는 상수 k 의 개수를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

두 근의 곱이 36 이라는 점에서 결국 묻고 있는 것은 '36 의 서로 다른 정수 약수 쌍이 몇 개인가'. 도구 #2(빠짐없이 나열)는 '모든 쌍 찾기'에 딱 맞음. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 작업을 '양의 약수 쌍 나열', '음의 약수 쌍 나열', 'k 값 세기' 셋으로 분리. 도구 #9(더 쉬운 문제)는 다리 역할 — k 부터 찾지 말고 더 쉬운 약수 쌍 문제부터 풀고 마지막에 k 를 읽어내자. 근의 공식 같은 무거운 도구를 피하고 약수 쌍 세기라는 자연스러운 길로.

1STEP 1

x² + kx + 36 = (x-r)(x-s) 로 놓고 전개해 계수를 비교하면 rs = 36, r + s = -k.

x² + kx + 36 = (x-r)(x-s) → rs = 36, r + s = -k

2STEP 2

36 의 양의 약수 쌍을 작은 쪽부터: (1, 36), (2, 18), (3, 12), (4, 9); (6, 6) 은 근이 같아 제외.

r ＜ s 인 양의 쌍: (1, 36), (2, 18), (3, 12), (4, 9)

3STEP 3

부호 둘 다 뒤집기 (음 × 음 = 양): (-1, -36), (-2, -18), (-3, -12), (-4, -9); (-6,-6) 제외.

음의 쌍: (-1, -36), (-2, -18), (-3, -12), (-4, -9)

4STEP 4

부호가 섞인 쌍은 불가능 — 양수 × 음수 = 음수라 +36 이 될 수 없어 다른 쌍은 없음.

(+) × (-) = (-) ≠ 36

5STEP 5

각 쌍에서 k = -(r + s), 부호만 뒤집혀 k ∈ {-37, -20, -15, -13, 13, 15, 20, 37}.

k ∈ {-37, -20, -15, -13, 37, 20, 15, 13}

6STEP 6

여덟 개의 k 가 모두 서로 달라 (양·음 쌍은 겹치지 않음) 8 개 — 답 (B).

|{-37, -20, -15, -13, 13, 15, 20, 37}| = 8 → (B)

정답

검산 — k = -37 이면 x² - 37x + 36 = (x - 1)(x - 36), 근 1, 36 ✓. k = 13 이면 x² + 13x + 36 = (x + 4)(x + 9), 근 -4, -9 ✓. 답이 8 이고 9 가 아닌 이유 — (6, 6) 쌍은 두 근이 같으므로 (k = -12 가 후보지만) 제외. 14 나 16 이 아닌 이유 — (1, 36) 과 (36, 1) 은 같은 쌍, 같은 k 라 순서 없는 쌍 세기가 맞음.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 7학년 (x-r)(x-s) 전개만 알면 풀 수 있어요 — 상수항 36 은 rs 에서 와야 하므로 36 의 서로 다른 양의 약수 쌍 네 개를 나열하고, 음의 부호로 두 배 해서 k 값 8 개.

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