AMC 10 · 2023 · #16

학년 7 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

combinations-basicratio-proportionlinear-equations-one-vartriangular-numbers caseworkidentify-subproblemsbound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: combinations-basicratio-proportion

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

리그전 방식의 탁구 대회에서 모든 선수가 다른 모든 선수와 정확히 한 경기씩 치릅니다. 오른손잡이 선수는 왼손잡이 선수의 두 배이고, 왼손잡이가 이긴 경기 수는 오른손잡이가 이긴 경기 수보다 40% 더 많습니다. 치러진 경기의 총 수를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 가능성 지우기

G 의 후보가 다섯 개로 정해진 객관식 문제이므로 도구 #3(가능성 지우기)이 정석입니다. 도구 #7 로 일을 둘로 쪼개서, 어떤 G 도 통과해야 할 두 개의 조건을 뽑아냅니다 — (i) 1.4 의 승수 비율로부터 G 가 12 의 배수여야 함, (ii) 리그전 구조로부터 G 가 삼각수 C(N, 2) 여야 함. 두 필터를 다섯 후보에 차례로 적용하면 유일하게 살아남는 값이 답입니다.

1STEP 1

모든 경기에 승자가 하나이므로 G = W_R + W_L; 승수 비 7:5 에서 G = $\frac{12}{5}$ W_R, 따라서 G 는 12 의 배수여야 합니다.

W_L = 1.4 W_R =

\frac{7}{5}

W_R → G =

\frac{12}{5}

W_R → 12 ∣ G

2STEP 2

N 명의 선수가 서로 한 번씩 대결하므로 G = C(N, 2) = $\frac{N(N-1)}{2}$ — 총 경기 수는 삼각수여야 합니다.

G = C(N, 2) =

\frac{(N(N-1))}{2}

3STEP 3

필터 A(12 의 배수)로 15, 45, 66 은 탈락하고 36 과 48만 남습니다.

{15, 36, 45, 48, 66} → {36, 48}

4STEP 4

필터 B(삼각수): 36 = C(9, 2) (9·8 = 72), 하지만 96 은 연속한 두 정수의 곱이 안 되므로 36만 통과.

36 = C(9, 2) ✓, 48 ≠ C(N, 2) (어떤 N 도 없음) ×

5STEP 5

G = 36 이면 N = 9, R = 6, L = 3, W_R = 15, W_L = 21, $\frac{21}{15}$ = 1.4 로 40% 초과 성립 → 36.

R = 6, L = 3, W_R = 15, W_L = 21,

\frac{W_L}{W_R}

= 1.4 → (B) 36

정답

크기 점검: 9 명이 리그전을 하면 C(9, 2) = 36 경기로, 작은 선택지(15, 36)와 큰 선택지(48, 66) 사이에 자연스럽게 자리합니다. 승수 15 와 21 은 둘 다 음이 아닌 정수이고 합도 정확히 총 경기 수 36 — 내부적으로 일관됩니다. 비율 1.4 는 "40% 더 많다" 를 그대로 재현합니다. 두 독립 필터 중 하나라도 통과하지 못한 다른 선택지는 모두 탈락이므로 결과는 강제됩니다.

💡핵심 정리

총 경기 수에 대한 두 개의 깔끔한 조건 — 승수 비율로부터 "12 의 배수", 리그전으로부터 "C(N, 2) 삼각수" — 이 다섯 선택지 중 넷을 떨어뜨리고 (B) 36 만 남깁니다. 객관식이 답을 줄 때는 각 후보가 통과해야 하는 작은 필터를 만들면 답이 저절로 정해집니다.

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