AMC 10 · 2023 · #7

학년 7 probability

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Markov State Probability

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📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Janet 가 공정한 주사위(6 면)를 네 번 굴려 매번 눈의 합(누적합)을 기록합니다. 네 번 중 어느 한 시점에라도 누적합이 정확히 3 이 될 확률을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$frac{2}{9}$

(B)

$frac{49}{216}$

(C)

$frac{25}{108}$

(D)

$frac{17}{72}$

(E)

$frac{13}{54}$

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

굴림마다 합이 증가만 하므로 누적합이 3 이 되는 "순간" 은 많아야 한 군데입니다. 그래서 사건은 자연스럽게 "몇 번째 굴림에서 처음으로 3 이 되는가" 로 갈라집니다 — 1번, 2번, 3번, 4번. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 "누적합이 그 단계에서 정확히 3 이 되는 시작 부분" 을 죽 늘어놓는 데 정확히 맞고, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 경우를 깔끔히 나눠줍니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 4번 굴림을 시작 전에 제거합니다 — 각 굴림이 ≥ 1 이므로 4번 굴림 후 누적합은 적어도 4 ＞ 3, 즉 "4번째에 처음 3" 은 불가능합니다. 남은 경우들의 확률은 서로 배반이므로 그대로 더하면 됩니다.

1STEP 1

모든 눈은 최소 1 이므로 네 번 굴린 뒤 누적합은 적어도 4 — 4번째는 처음 3 이 될 수 없고 1·2·3번째만 남습니다.

4번 굴린 뒤 누적합 ≥ 4 → 4번째 굴림은 처음 3 이 될 수 없음

2STEP 2

경우 1 — 1번 굴림에서 합이 3 이 되려면 첫 눈이 3: 여섯 면 중 하나이므로 $\frac{1}{6}$ .

P₁ =

\frac{1}{6}

3STEP 3

경우 2 — 2번 굴림에서 처음 3 은 (1, 2) 와 (2, 1), 둘 다 첫 눈이 3 아님: 순서쌍 두 가지로 $\frac{1}{18}$ .

P₂ = 2 ·

\frac{1}{36}

\frac{2}{36}

\frac{1}{18}

4STEP 4

경우 3 — 3번 굴림에서 처음 3 은 (1, 1, 1) 뿐, 216 개 중 한 가지이므로 $\frac{1}{216}$ .

P₃ =

\frac{1}{6}

³ =

\frac{1}{216}

5STEP 5

세 경우는 서로 배반이므로 공통분모 216 으로 더하면 $\frac{36 + 12 + 1}{216}$ = $\frac{49}{216}$ , 선택지 (B).

P =

\frac{1}{6}

\frac{1}{18}

\frac{1}{216}

\frac{36 + 12 + 1}{216}

\frac{49}{216}

→ (B)

정답

frac{49}{216}

6⁴ = 1296 개 굴림 순서쌍을 직접 헤아려 교차 확인합니다. 누적합이 어느 시점에서든 3 이 되는 순서쌍의 수는 6³ + 2 · 6² + 1 · 6 = 216 + 72 + 6 = 294 — 즉 (3, *, *, *) 로 시작하는 216 개, (1, 2, *, *) 또는 (2, 1, *, *) 로 시작하는 72 개, (1, 1, 1, *) 로 시작하는 6 개. 확률 =

\frac{294}{1296}

\frac{49}{216}

. (B) 와 일치. 크기 점검:

\frac{49}{216}

≈ 0.227 은

\frac{1}{6}

≈ 0.167 (첫 굴림이 바로 3 일 확률) 과

\frac{1}{4}

사이 — 후속 굴림이 "두 번째 기회" 를 작게 더해주는 것과 정확히 일치합니다.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 7학년 복합 사건 확률만 알면 풀 수 있어요 — 누적합이 정확히 3 으로 멈추는 시작 부분을 모두 나열하고, 각 굴림에 $\frac{1}{6}$ 을 곱한 뒤, 동시에 일어날 수 없는 경우끼리 더하면 됩니다.

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