AMC 10 · 2023 · #9

학년 4 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

digit-constraintsparitysystematic-enumerationplace-value caseworksystematic-enumerationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: digit-constraintsparity

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

8 자리 표시 YYYYMMDD 에서 연도 부분은 2023 으로 고정. 2023 년의 날짜들 중, 전체 8 자리 안에서 0 부터 9 까지의 모든 숫자가 짝수 번 나타나는 날짜의 수를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 다르게 정리하기

첫 수는 도구 #15(다르게 정리하기) — 달력 이야기에서 벗어나 "MMDD 위의 숫자 홀짝 회계" 문제로 다시 정리합니다. 2023 은 이미 0 과 3 만 홀수 번 나오므로, MMDD 네 자리는 0 을 홀수 번, 3 을 홀수 번, 그 외 숫자는 짝수 번 포함해야 합니다. 네 자리짜리이므로 가능한 숫자 다중집합은 손에 꼽힐 정도로 작고 — 그래서 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 그다음 자리. 마지막에 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 달력 필터를 맡습니다: 각 후보 다중집합에서 유효한 MM/DD 배치를 추려냅니다.

1STEP 1

연도 2023 의 자리 {2, 0, 2, 3} 를 세면 홀수 번인 건 0 과 3 뿐; 2 는 짝수, 나머지는 0번.

연도 홀짝: 0 → 홀, 3 → 홀, 나머지 → 짝

2STEP 2

그래서 MMDD 네 자리가 그 홀짝을 뒤집어야 함: 0 과 3 을 홀수 번, 나머지 숫자는 짝수 번.

#{0}_MMDD ∈ {1, 3}, #{3}_MMDD ∈ {1, 3}, #{d}_MMDD ∈ {0, 2, 4} (d ∉ {0, 3})

3STEP 3

네 자리뿐이라 가능한 다중집합은 {0, 3, d, d}, {0, 3, 3, 3}, {0, 0, 0, 3} 로 좁혀짐.

경우들: {0, 3, d, d}, {0, 3, 3, 3}, {0, 0, 0, 3}

4STEP 4

달력 규칙 (월 01–12, 일에 00 이나 33 불가) 이 {0, 3, 3, 3} 과 {0, 0, 0, 3} 를 제거 — 둘 다 0 개.

{0,3,3,3}: 0, {0,0,0,3}: 0

5STEP 5

{0, 3, d, d} 에서 월이 12 이하여야 하므로 d = 1 과 d = 2 만 가능; d ≥ 4 는 월이 너무 커짐.

후보 d: 1, 2

6STEP 6

{0, 1, 1, 3} 로 실제 달력 날짜는 0113, 0131, 0311, 1013, 1031, 1103, 1130 — 7 개.

d=1: {0113, 0131, 0311, 1013, 1031, 1103, 1130} → 7

7STEP 7

{0, 2, 2, 3} 는 0223 (2월 23일) 과 0322 (3월 22일) 만 통과 — 32 는 달력 탈락 — 2 개.

d=2: {0223, 0322} → 2

8STEP 8

경우별 결과를 더하면 7 + 2 = 9, 선택지 (E).

7 + 2 = 9 → (E)

정답

각 9 개 날짜를 2023 과 이어붙여 자리수를 세어 확인합니다: 예를 들어 20230113 → 자리수 {2,0,2,3,0,1,1,3} — 0 두 번, 1 두 번, 2 두 번, 3 두 번 — 모두 짝수 ✓. 20230131 → {2,0,2,3,0,1,3,1} — 0 두 번, 1 두 번, 2 두 번, 3 두 번 ✓. 20230223 → {2,0,2,3,0,2,2,3} — 0 두 번, 2 네 번, 3 두 번 ✓. 나머지도 같은 검증으로 통과. 크기 점검: 365 일 중 9 일, 약 2.5% — 꽤 까다로운 홀짝 조건에 대해 그럴듯한 자리수.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 4학년 패턴 나열만 알면 풀 수 있어요 — 2023 에서 홀수 번 나오는 두 숫자 (0 과 3) 가 짝수가 되도록 MMDD 네 자리를 골라놓고, 달력에 맞는 배치를 빠짐없이 적기만 하면 됩니다.

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