AMC 10 · 2023 · #22

학년 6 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

floor-functioncaseworklinear-equations-one-varbound-inequality-then-enumerate caseworksystematic-enumerationbound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: floor-functionlinear-equations-one-var

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

⌊ x ⌋² - 3x + 2 = 0 을 만족하는 서로 다른 실수 x 의 개수를 구합니다. 여기서 ⌊ x ⌋ 는 x 이하의 가장 큰 정수입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$text{an infinite number}$

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 추측하고 확인하기

⌊ x ⌋ 가 정수라는 사실이 돌파구입니다. n = ⌊ x ⌋ 로 두면(도구 #9 — 바닥 함수를 더 쉬운 정수 변수 n 으로 대체) 방정식이 후보 x = (n²+2)/3 로 정해집니다. 이제 도구 #6(추측·확인) 과 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 작은 정수 n = …, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … 를 훑으며 ⌊ (n²+2)/3 ⌋ = n 인지 확인. 후보는 n² 으로 자라고 창은 선형이므로 몇 개만 본다.

1STEP 1

n = ⌊ x ⌋ 로 두면 n² - 3x + 2 = 0 에서 x = (n²+2)/3 — n ≤ x ＜ n+1 일 때만 유효.

x = (n² + 2)/3, n ≤ x ＜ n + 1

2STEP 2

n = 0: x = (0+2)/3 = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.667, 0 ≤ 0.667 ＜ 1 이므로 x = $\frac{2}{3}$ 유효.

n=0: x =

\frac{2}{3}

, ⌊

\frac{2}{3}

⌋ = 0 ✓

3STEP 3

n = 1: x = (1+2)/3 = 1, 1 ≤ 1 ＜ 2 이므로 x = 1 유효.

n=1: x = 1, ⌊ 1 ⌋ = 1 ✓

4STEP 4

n = 2: x = (4+2)/3 = 2, 2 ≤ 2 ＜ 3 이므로 x = 2 유효.

n=2: x = 2, ⌊ 2 ⌋ = 2 ✓

5STEP 5

n = 3: x = (9+2)/3 = $\frac{11}{3}$ ≈ 3.667, 3 ≤ 3.667 ＜ 4 이므로 x = $\frac{11}{3}$ 유효.

n=3: x =

\frac{11}{3}

≈ 3.667, ⌊

\frac{11}{3}

⌋ = 3 ✓

6STEP 6

n = 4: x = (16+2)/3 = 6, 6 ≥ 5 라 ⌊ 6 ⌋ ≠ 4 로 기각; n ≥ 4 는 모두 창 [n, n+1) 밖.

n=4: x = 6 ≥ 5, 바닥=6 ≠ 4 ✗

7STEP 7

음수 n: n = -1 은 x = 1 ∉ [-1, 0); n ≤ -1 은 후보가 양수라 음이 아닌 창에 못 들어가 모두 기각.

n=-1: x = 1 ∉ [-1, 0) ✗

8STEP 8

유효한 n ∈ {0, 1, 2, 3} 이 서로 다른 네 해 x ∈ { $\frac{2}{3}$ , 1, 2, $\frac{11}{3}$ } 를 주므로 답은 선택지 (B).

x ∈ {

\frac{2}{3}

, 1, 2,

\frac{11}{3}

} → 4 개 → (B)

정답

원식 대입 확인: x =

\frac{2}{3}

: 0² - 3 ·

\frac{2}{3}

+ 2 = -2 + 2 = 0 ✓. x = 1: 1 - 3 + 2 = 0 ✓. x = 2: 4 - 6 + 2 = 0 ✓. x =

\frac{11}{3}

: 9 - 11 + 2 = 0 ✓. 네 해 검증 완료. 경계 n = 4 가 x = 6 으로 창 [4, 5) 밖이라 위쪽 해도 없음. 음수 창은 양의 후보를 담을 수 없으므로 아래도 없음. 답 (B) = 4 일치.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 이미 배운 6학년 식·수직선 추론만 있으면 풀려요 — 어려워 보이는 바닥 함수 ⌊ x ⌋ 에 정수 이름 n 을 붙이면 x = (n²+2)/3 가 되고, 그 후보가 진짜 창 [n, n+1) 에 사는지 확인합니다. n = 0, 1, 2, 3, 4, … 를 훑으면 정확히 4 개가 살아남아 답은 (B) = 4.

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