AMC 10 · 2024 · #14

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

area-trianglesarea-circlesangle-sum-triangleisosceles-triangle area-differenceidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-trianglesarea-circlespythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

높이 24 인 정삼각형의 한 변이 직선 ℓ 위에 놓여 있습니다. 반지름 12 의 원이 정삼각형과 같은 쪽에서 직선 ℓ 에 접하고, 정삼각형의 한 비스듬한 변에도 외접합니다. 정삼각형·원·직선이 만나는 꼭짓점 부근에서 세 도형 사이에 끼인 영역의 넓이가 a√(b) - cπ 꼴이며 b 가 제곱인수 없는 수일 때, a + b + c 를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

~72

(B)

~73

(C)

~74

(D)

~75

(E)

~76

AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

그림이 주어지지 않고 글로만 설명된 상황이므로 첫 수는 도구 #1(그림 그리기): 직선 ℓ 을 가로로 두고 그 위에 정삼각형을 얹은 뒤, 한쪽 꼭짓점 C 바깥 쐐기 안에 원을 그립니다. 그러면 목표 영역이 "두 접선과 호 하나로 둘러싸인 쐐기 모양" 임이 분명해집니다. 이 쐐기는 자연스럽게 두 개의 작은 문제로 갈라집니다 (도구 #7): 꼭짓점·두 접점·중심을 잇는 연(凧) 모양 사각형과, 그 안에서 도려내야 할 부채꼴. 두 조각 모두 공식 하나로 끝나며, 빼주면 곧 a√(b) - cπ 가 나옵니다.

1STEP 1

접점 E(ℓ 위)·D(변 CA 위)·중심 O 를 잡으면, 꼭짓점 C 의 목표 주머니는 사각형 ODCE 에서 부채꼴 ODE 를 뺀 모양.

목표 넓이 = 사각형(ODCE) - 부채꼴(ODE)

2STEP 2

C 의 내각이 60° 이므로 원을 품는 바깥 쐐기각은 180° - 60° = 120°. O 는 그 이등분선 위에 있어 ∠OCE = 60°.

∠ DCE = 180° - 60° = 120°, ∠ OCE =

\frac{1}{2}

(120°) = 60°

3STEP 3

접선 반지름이 직각을 이루어 △OEC 는 OE = 12 인 30-60-90; CE = 4√(3), 연 ODCE 넓이 48√(3).

CE = 12/√(3) = 4√(3), 사각형(ODCE) = 2 ·

\frac{1}{2}

· CE · OE = 2 ·

\frac{1}{2}

· 4√(3) · 12 = 48√(3)

4STEP 4

ODCE 의 네 각 합 360° 에서 두 직각 90° 와 쐐기 120° 를 빼면 중심각 ∠DOE = 60°.

∠ DOE = 360° - 90° - 90° - 120° = 60°

5STEP 5

중심각 θ°, 반지름 r 인 부채꼴 넓이는 θ/360·π r²; θ = 60, r = 12 이면 전체 원의 $\frac{1}{6}$ = 24π.

부채꼴(ODE) =

\frac{60}{360}

π (12)² =

\frac{1}{6}

· 144π = 24π

6STEP 6

빼면 목표 = 48√(3) - 24π, 즉 a = 48, b = 3, c = 24 (b 제곱인수 없음), a + b + c = 75 → (D).

목표 = 48√(3) - 24π → a + b + c = 48 + 3 + 24 = 75 → (D)

정답

~75

크기 감각으로 확인합시다. 48√(3) ≈ 48(1.732) ≈ 83.1, 24π ≈ 75.4 이므로 목표 영역은 약 7.7 — 반지름 12 원과 정삼각형의 60° 꼭짓점 사이에 끼인 얇은 주머니 크기로 자연스럽습니다. 두 접선 길이 CE = CD = 4√(3) ≈ 6.93 도 반지름 12 보다 작아서, 접점이 O 보다 C 에 더 가까운 그림과 일치합니다. 정삼각형의 높이 24 가 계산에 등장하지 않은 것도, 영역이 한 꼭짓점 근방의 국소 구조에만 의존한다는 점과 맞아떨어집니다.

💡핵심 정리

그림을 그리고 꼭짓점에서 "연 + 부채꼴" 구조를 찾으면, 이 AMC 10 문제는 30-60-90 직각삼각형 하나와 전체 원의 $\frac{1}{6}$ 부채꼴 하나로 끝나는 7-8학년 도형 문제입니다.

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