AMC 10 · 2024 · #16

학년 8 geometry-2dalgebra

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Multiplicative Rate or Series

similar-figuresarea-rectanglesratio-proportionexponents convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-rectanglessimilar-figuresexponents

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

큰 직사각형이 작은 직사각형들로 빈틈없이 덮여 있고, 모든 작은 직사각형은 큰 직사각형과 닮음입니다. 각 작은 직사각형에는 넓이가 표시되어 있습니다. 큰 직사각형의 윗변 AB 의 길이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$4+4\sqrt5$

(B)

$10\sqrt2$

(C)

$5+5\sqrt5$

(D)

$10\sqrt[4]{8}$

(E)

AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

여덟 개의 다른 넓이가 모두 "같은 모양" 을 공유한다는 설정은 도구 #13(대수로 바꾸기)의 전형적 신호입니다. 넓이 1 직사각형의 짧은 변과 긴 변에 x, y 라는 이름만 붙이면, 넓이 A 인 직사각형의 변은 자동으로 x√(A), y√(A). 모든 길이가 (x, y) 식이 되니까 그림은 "윗변 = 아랫변" 이라는 단 하나의 식으로 줄어들고, 그 식이 비 $\frac{y}{x}$ 를 못 박아 줍니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 이 작업을 깔끔히 단계로 나눠줍니다 — (A) 변의 등식에서 비 구하기, (B) xy = 1 에서 x, y 구하기, (C) 윗변 식에 다시 대입해 AB 계산. 단계별로 보면 모두 짧습니다.

1STEP 1

넓이 1 직사각형의 변을 x(짧은 변), y(긴 변)로 두면 xy = 1, 넓이 A 직사각형의 변은 x√(A), y√(A).

xy = 1, 넓이 A 직사각형의 변 = (x√(A), y√(A))

2STEP 2

윗변 AB 는 넓이 32는 긴 변, 25·49는 짧은 변이 가로라, AB = 4√(2) y + 12x.

AB = y√(32) + x√(25) + x√(49) = 4√(2) y + 12x

3STEP 3

아랫변은 36·16은 짧은 변(6x, 4x), 8·18은 긴 변(2√(2) y, 3√(2) y)이라 10x + 5√(2) y.

아랫변 = 6x + 4x + 2√(2) y + 3√(2) y = 10x + 5√(2) y

4STEP 4

윗변 = 아랫변으로 놓으면 2x = √(2) y, 즉 $\frac{y}{x}$ = √(2).

4√(2) y + 12x = 10x + 5√(2) y → 2x = √(2) y →

\frac{y}{x}

= √(2)

5STEP 5

y = x√(2) 와 xy = 1 을 합치면 x²√(2) = 1, 따라서 x = 2⁻¹/4, y = 2¹/4.

x(x√(2)) = 1 → x² =

\frac{1}{√(2)}

→ x =

\frac{1}{sqrt[4]{2}}

, y = x√(2) = sqrt[4]{2}

6STEP 6

x, y 를 윗변 식에 대입하면 두 항이 2³/4 로 묶여 10 · 2³/4 = 10sqrt[4]{8} → (D).

AB = 4√(2) (2¹/4) + 12 (2⁻¹/4) = 4 · 2³/4 + 6 · 2³/4 = 10 · 2³/4 = 10sqrt[4]{8} → (D)

정답

10sqrt[4]{8}

비 k = √(2) 는 그 유명한 A4 용지의 비 — 자기 자신과 닮은 직사각형으로 타일링할 수 있는 바로 그 비율입니다. 이건 강한 합리성 신호입니다. 수치로는 10sqrt[4]{8} ≈ 10 · 1.6818 ≈ 16.82 이고, 다른 선택지 (B) 10√(2) ≈ 14.1 과 (E) 20 사이에 잘 들어맞습니다. 또 같은 x, y 로 아랫변을 계산하면 10x + 5√(2) y = 10 · 2⁻¹/4 + 5√(2)· 2¹/4 = 6 · 2³/4 + 4 · 2³/4 = 10 · 2³/4 — 동일한 값이 나와 등식 설정이 일관적임을 확인합니다.

💡핵심 정리

닮은 직사각형들은 변의 비 k 하나를 공유합니다. 단위 직사각형의 변을 x, y 로 명명하면 그림 속 모든 길이가 x 와 y 의 배수로 정리되고, 큰 직사각형의 마주 보는 두 변이 같다는 한 줄 식이 k = √(2) — A4 용지와 똑같은 비 — 를 못 박아 줍니다.

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