AMC 10 · 2024 · #19

학년 6 algebranumber-theory

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Integrality / Divisibility Screen

sequences-geometricratio-proportionfactorsdigit-sum convert-to-algebrasystematic-enumerationoptimization-counting ↑ 선수 지식: sequences-geometricfraction-arithmeticfactors

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

세 정수 a, 720, b 가 이 순서대로 등비수열을 이루고, a ＜ 720 ＜ b 입니다. 조건을 만족하는 b 중 가장 작은 값을 찾고, 그 값의 자릿수의 합을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

"등비수열" 이라는 말은 곧장 도구 #13(대수로 바꾸기)의 신호입니다. 공비 r 에 이름을 붙이고 기약분수 r = p/q 로 표현하면, a 와 b 가 정수여야 한다는 조건이 깔끔한 정수론 조건 — "p 와 q 는 둘 다 720 의 약수" — 로 바뀝니다. b = 720 · p/q 를 p ＞ q 조건 하에 최소화하려면 p/q 가 1 에 가장 가까워야 하므로, 곧 연속된 정수 쌍을 찾는 문제로 환원됩니다. 그다음 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 720 의 연속된 약수 쌍만 훑으면 됩니다 — 후보가 많지 않아 그 중 가장 큰 쌍만 골라내면 끝.

1STEP 1

공비를 기약분수 r = p/q (p ＞ q, r ＞ 1) 로 두면 b = 720·p/q, a = 720·q/p.

a = 720q/p, b = 720p/q, gcd(p,q) = 1, p ＞ q

2STEP 2

gcd(p,q) = 1 이므로 a, b 가 정수이려면 p, q 가 모두 720 을 나눠야 합니다.

p, q ∣ 720, gcd(p,q) = 1, p ＞ q

3STEP 3

b = 720·p/q 를 최소화하려면 p/q 를 1 에 최대한 가깝게, 즉 720 의 가장 큰 연속 약수 쌍을 찾습니다.

min b ⇔ min p/q ＞ 1 ⇔ q, q+1 ∣ 720 인 q 를 최대화

4STEP 4

720 = 2⁴·3²·5 의 약수를 훑으면 연속 약수 쌍은 (15, 16) 에서 끝납니다.

(q, q+1) ∈ {(1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6), (8,9), (9,10), (15,16)}

5STEP 5

r = $\frac{16}{15}$ 이면 b = 720· $\frac{16}{15}$ = 768, 자릿수의 합은 21 (수열 675, 720, 768 확인).

b = 768, 7 + 6 + 8 = 21 → (E)

정답

수열을 직접 확인: 675 ·

\frac{16}{15}

= 720, 720 ·

\frac{16}{15}

= 768. 셋 다 정수이고 675 ＜ 720 ＜ 768 이므로 조건이 만족됩니다. 최소성 확인: 그다음으로 좋은 연속 쌍 (9, 10) 은 b = 720 ·

\frac{10}{9}

= 800 ＞ 768, (8, 9) 는 b = 720 ·

\frac{9}{8}

= 810 ＞ 768. 둘 다 더 크므로 (15, 16) 이 우승. 자릿수의 합 7 + 6 + 8 = 21 도 선택지 (E) 와 일치.

💡핵심 정리

등비수열이 정수에 떨어져야 할 때, 공비는 기약분수 p/q 형태이고 p 와 q 둘 다 가운데 항을 나눠야 합니다. b 를 720 에 최대한 가깝게 만들려면 720 의 연속된 약수 중 가장 큰 쌍을 찾으면 됩니다 — 그 쌍이 (15, 16) 이므로 b = 720 · $\frac{16}{15}$ = 768.

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