AMC 10 · 2024 · #22

학년 8 geometry-2d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation
area-trianglespythagorean-theoremline-symmetryangle-sum-triangle identify-subproblemsarea-difference ↑ 선수 지식: area-trianglespythagorean-theoremsimilar-triangles
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형
문제
다리 길이가 1 과 √(3) 인 두 직각삼각형을 공통 빗변을 따라 붙여서 연 mathcal K 를 만듭니다. 이 연 8 개를 이어 붙인 다각형 위에 큰 삼각형 △ ABC 가 그려져 있습니다. △ ABC 의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$2+3\sqrt3$
(B)
$\dfrac{9}{2}\sqrt3$
(C)
$\dfrac{10+8\sqrt3}{3}$
(D)
8
(E)
$5\sqrt3$

AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

문제 전체가 한 장의 그림 안에 들어 있습니다. 도구 #1(그림 그리기)이 중심: 연의 실제 변 길이(1, 1, √(3), √(3))와 각을 그림에 직접 표시하면, 타일링이 AB 와 C 에서 내린 수선의 높이가 어떤 연 변들로 만들어지는지 보여 줍니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 "△ ABC 의 넓이" 를 밑변 AB 와 높이 h 두 개의 독립 측정으로 분해해 줍니다. 둘 다 타일링 위 작은 조각 하나에 피타고라스 정리를 짧게 적용하면 끝나고, 마지막은 6학년 넓이 공식 한 번입니다.

1STEP 1

연의 반쪽은 다리 1, √(3) 인 직각삼각형; 피타고라스 정리로 공통 빗변은 2, 모든 변과 각이 확정됩니다.

빗변 = √(1² + (√(3))²) = √(4) = 2
2STEP 2

넓이 = ½·AB·h 를 두 측정으로 분해: 대칭으로 수선은 AB 중점에 닿으니, 밑변 AB 와 높이 h 만 구하면 됩니다.

[△ ABC] = 12\frac{1}{2} · AB · h
3STEP 3

AB 의 네 동일한 선분은 각각 작은 닮음 삼각형의 긴 다리: √(3)·(√(3)2\frac{√(3)}{2}) = 32\frac{3}{2}, 네 개면 AB = 6.

AB 한 선분 = √(3)2\frac{√(3)}{2} · √(3) = 32\frac{3}{2} → AB = 4 · 32\frac{3}{2} = 6
4STEP 4

수선은 작은 삼각형의 수직 다리 √(3)2\frac{√(3)}{2} 를 수직 연 변 √(3) 아래에 쌓으므로 h = 3√(3)2\frac{3√(3)}{2} (즉 √(3) + √(3)2\frac{√(3)}{2}).

h = √(3) + √(3)2\frac{√(3)}{2} = 2√(3)+√(3)2\frac{2√(3) + √(3)}{2} = 3√(3)2\frac{3√(3)}{2}
5STEP 5

밑변 AB 와 높이 h 가 손에 있으니, ½·밑변·높이로 넓이를 마무리합니다.

[△ ABC] = 12\frac{1}{2} · 6 · 3√(3)2\frac{3√(3)}{2} = 3 · 3√(3)2\frac{3√(3)}{2} = 9√(3)2\frac{9√(3)}{2} → (B)
정답
92\frac{9}{2}√3
전체 타일링 넓이로 확인합시다. 연 한 개는 다리 1, √(3) 인 직각삼각형 두 개이므로 넓이는 2 · 12\frac{1}{2} · 1 · √(3) = √(3), 연 8 개로 만든 다각형은 8√(3) ≈ 13.86. 우리 △ ABC 는 9√(3)2\frac{9√(3)}{2} ≈ 7.79 로 다각형 전체보다 한참 작고, 그림에서 "절반 이상이지만 전부는 아닌" 느낌과 잘 맞습니다. 수치 7.79 는 (B) 와 정확히 일치합니다.
💡핵심 정리

도형이 같은 조각으로 타일링되어 있을 때는 조각 하나를 정확히 라벨링하고, 닮음비로 큰 삼각형의 밑변과 높이를 그림에서 직접 읽어 내는 것이 첫 수입니다. 그 뒤는 12\frac{1}{2} · 밑변 · 높이 한 줄로 끝납니다.

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