AMC 10 · 2024 · #23

학년 8 algebranumber-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

systems-of-equationsprime-factorizationfactorslinear-equations-two-var convert-to-algebracaseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: systems-of-equationsprime-factorization

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

세 정수 a, b, c 가 ab + c = 100, bc + a = 87, ca + b = 60 을 만족합니다. ab + bc + ca 의 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

212

(B)

247

(C)

258

(D)

276

(E)

284

AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

미지수 3개·식 3개 시스템은 도구 #13(대수로 바꾸기)의 정석 신호입니다. 정수 삼중쌍을 무작정 찾는 것은 막막하지만, 두 식을 빼고 또 더하면 묶어내기로 (a-c)(b-1) = 13, (a+c)(b+1) = 187 이 나옵니다. 여기서 "정수" 조건이 강력해집니다 — 13 은 소수이고 187 = 11 · 17 이므로 도구 #3(가능성 지우기)이 b 후보를 매우 작은 집합으로 좁힙니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 네 개의 b 후보를 차례로 점검해 두 식을 모두 만족하는 것을 남기면, a 와 c 는 2 × 2 일차 연립으로 떨어집니다.

1STEP 1

식 (1) 에서 (2) 를 빼고 묶어내기로 인수분해하면 좌변이 (a-c)(b-1) = 13 으로 정리됩니다.

(ab+c) - (bc+a) = 100 - 87 → (a-c)(b-1) = 13

2STEP 2

이번엔 식 (1) 과 (2) 를 더하고 같은 방식으로 묶으면 좌변이 (a+c)(b+1) = 187 이 됩니다.

(ab+c) + (bc+a) = 100 + 87 → (a+c)(b+1) = 187

3STEP 3

13 은 소수, 187 = 11·17 이라 b-1 은 13 의 약수라 b ∈ {-12, 0, 2, 14}; b+1 은 187 의 약수입니다.

b ∈ {-12, 0, 2, 14} 그리고 b+1 ∈ {± 1, ± 11, ± 17, ± 187}

4STEP 4

각 b 를 둘째 목록과 대조: b=2 (→3), b=14 (→15) 는 187 의 약수가 아니라 탈락, b ∈ {-12, 0} 만 남습니다.

살아남은 후보: b ∈ {-12, 0}

5STEP 5

b=0 을 넣으면 a=87, c=100 이 되지만 ca+b = 8700 이라 60 이 아니므로 b=0 은 탈락.

b = 0 → (a, c) = (87, 100), ca + b = 8700 ≠ 60

6STEP 6

b=-12 를 대입하면 a-c = -1, a+c = -17; 두 식을 더해 a = -9, c = -8 을 얻습니다.

a - c = -1, a + c = -17 → a = -9, c = -8, b = -12

7STEP 7

(-9, -12, -8) 을 세 식에 검증한 뒤 곱을 합산: ab+bc+ca = 108+96+72 = 276, 선택지 (D).

ab + c = 108 - 8 = 100 ✓, bc + a = 96 - 9 = 87 ✓, ca + b = 72 - 12 = 60 ✓; ab + bc + ca = 108 + 96 + 72 = 276 → (D)

정답

276

후보 삼중쌍 (-9, -12, -8) 이 원래 세 식을 모두 정확히 만족하므로 조작 과정의 부산물이 아닌 진짜 해입니다. 목표 합 108 + 96 + 72 = 276 은 선택지 (D) 와 일치. 크기 점검: 우변 100, 87, 60 은 60-100 범위인데 두 변수 곱 72, 96, 108 이 그 범위 근처에 자리잡고 있고, 작은 합산 항 a, b, c 가 약간 빼주는 그림이 자연스럽게 들어맞습니다. 살아남는 다른 b 후보가 없으므로 답은 강제됩니다.

💡핵심 정리

순환 구조의 세 식은 "두 식을 빼고 또 더해 묶어내기" 한 번으로 (a-c)(b-1) = 13, (a+c)(b+1) = 187 이 됩니다. 13 은 소수, 187 = 11 · 17 이라서 정수 규칙이 b 후보를 단 두 개로 줄여주고, 나머지는 2 × 2 연립으로 깔끔히 마무리됩니다.

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