AMC 10 · 2024 · #25

학년 7 countinggeometry-2d

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Arrangement Block Type

systematic-enumerationspatial-visualizationpattern-recognitioncombinations-basic identify-subproblemscaseworkpattern-recognition ↑ 선수 지식: systematic-enumerationspatial-visualization

📏 긴 풀이 💡 5 개 인사이트 📊 도형

문제

가로 8 칸, 세로 3 칸의 점 격자에서 칼은 칸의 변을 따라 1 인치 이쑤시개를 놓아 자기 자신과 교차하지 않는 하나의 닫힌 고리를 만듭니다. 가운데 줄의 8 개 칸에는 모두 "1" 이 적혀 있어, 각 칸은 네 변 중 정확히 한 변이 고리 위에 있어야 합니다. 위·아래 줄의 칸에는 제약이 없습니다. 만들 수 있는 고리는 몇 개일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

130

(B)

144

(C)

146

(D)

162

(E)

196

AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

"가운데 칸마다 정확히 한 변" 이라는 규칙은 말로만 들으면 잡히지 않습니다. 그래서 첫 수는 도구 #1(그림 그리기): 8 × 3 격자를 그려놓고 가운데 칸 하나하나에 대해 "네 변 중 어느 변이 고리 위에 있을까?" 라고 묻는 것입니다. 그림에서 곧바로 두 가지 구조 가족이 보이고, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 (A) 가운데 줄을 통과하지 않고 위 또는 아래에만 머무는 고리와 (B) 가운데 줄을 윗변 T_i 와 아랫변 B_i 를 섞어가며 "엮는" 고리로 셈을 분할할 수 있습니다. (B) 안에서는 도구 #5(패턴 찾기)가 받습니다 — 가운데 줄 안쪽 칸 하나하나가 독립적인 위/아래 선택이라, 자유 칸 개수에 따라 2^k 꼴이 깔끔하게 나옵니다.

1STEP 1

가운데 칸의 네 변 T_i, B_i, V_i, V_i+1 중 정확히 하나만 고리 위에 있다는 규칙을 적용합니다.

모든 i: #{T_i, B_i, V_i, V_i+1} ∩ 고리 = 1

2STEP 2

인접 두 칸이 공유하는 세로 V_i (1 ≤ i ≤ 7)는 비교차 고리에 들어갈 수 없어 V₁~V₇은 고리에서 빠집니다.

V₁, V₂, …, V₇ ∉ 고리

3STEP 3

고리 위치로 나눕니다: (A)는 가운데 줄 위·아래에만 머물고, (B)는 이를 엮으며 가로지릅니다. 답 = #(A) + #(B).

#고리 = #(A) + #(B)

4STEP 4

엮지 않는 고리는 위 줄·아래 줄 직사각형 둘뿐 — 다른 직사각형은 가운데 칸 카운트를 깨므로 #(A) = 2.

#(A) = 2

5STEP 5

엮는 고리에서 각 칸은 T_i 또는 B_i; 안쪽 여섯 칸 i = 1~6이 독립적 위/아래 선택이라 가장자리 경우마다 2⁶ = 64.

안쪽 선택: 2 × 2 × … × 2 = 2⁶ = 64 (가장자리 닫힘 한 경우당)

6STEP 6

고리가 x = 0·x = 8에서 닫히는 방식으로 네 경우: 2⁶ + 2⁵ + 2⁵ + 2⁴이므로 #(B) = 144.

#(B) = 2⁶ + 2⁵ + 2⁵ + 2⁴ = 64 + 32 + 32 + 16 = 144

7STEP 7

겹치지 않는 두 가족을 더합니다: #(A) = 2, #(B) = 144, 총 146, 선택지 (C).

#고리 = 2 + 144 = 146 → (C)

정답

146

분해 2 + 64 + 32 + 32 + 16 = 146 의 모양이 자연스럽습니다. 평범한 직사각형 두 개에 더해, 2 의 거듭제곱 가족 {16, 32, 32, 64} 가 비율 1/:2/:2/:4 로 나오는데, 이는 자유 안쪽 칸 수 4, 5, 5, 6 과 그대로 맞아떨어집니다. 격자의 좌우 대칭 덕에 (B2) 와 (B3) 의 셈이 같아야 하고, 실제로 32 = 32 로 일치 — 공짜 확인입니다. 답 146 은 선택지에 정확히 있으며, 인접 오답 144 는 평범한 직사각형 두 개를 빼먹은 값이고, 130 이나 162 는 그림이 지지하지 않는 비대칭 셈에서 나옵니다.

💡핵심 정리

어려워 보이는 셈도 그림을 그려놓고 칸마다 "한 변은 어디?" 라는 독립적 yes/no 를 묻는 순간 작아집니다. 여기서는 자유로운 가운데 칸 하나하나가 위/아래 동전 던지기였고, 2 + 2⁴ + 2⁵ + 2⁵ + 2⁶ = 146 으로 선택지 (C) 에 도착합니다.

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