AMC 10 · 2024 · #7

학년 7 number-theoryarithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

factorsparitysystematic-enumeration caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticprime-factorization

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

세 정수의 곱이 60 입니다. 이때 가능한 합 중에서 양수이면서 가장 작은 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

양수 곱이 나오려면 음수 인수의 개수가 짝수여야 한다는 부호 규칙으로 문제를 두 작은 문제로 깔끔히 쪼갤 수 있습니다 (도구 #7). 경우 A — 셋 다 양수, 경우 B — 한 개 양수와 두 개 음수. 각 경우에 등장하는 60 의 인수 삼중쌍은 유한 개이므로 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 차례대로 나열하고 합을 계산해 양수인 가장 작은 값을 추리면 됩니다. 마지막에 두 경우의 최솟값을 비교하면 전체 답이 나옵니다.

1STEP 1

부호로 나눕니다: 양수 곱은 음수가 짝수 개여야 하니 모두 양수이거나 정확히 두 개 음수입니다.

경우 A: a,b,c ＞ 0. 경우 B: a ＞ 0, b,c ＜ 0.

2STEP 2

경우 A(모두 양수): 60 의 인수 삼중쌍을 나열하고, 인수들을 서로 가깝게 모아 합을 작게 만듭니다.

1 · 1 · 60 = 60, 합 62. 1 · 2 · 30, 33. 1 · 3 · 20, 24. 1 · 4 · 15, 20. 1 · 5 · 12, 18. 1 · 6 · 10, 17. 2 · 2 · 15, 19. 2 · 3 · 10, 15. 2 · 5 · 6, 13. 3 · 4 · 5, 12.

3STEP 3

경우 A 는 가장 가까운 삼중쌍 3 + 4 + 5 에서 합 12 로 최소가 됩니다.

min_경우 A(a+b+c) = 3+4+5 = 12.

4STEP 4

경우 B: (p, -q, -r) 이면 합은 p - q - r, p ＞ q + r 일 때만 양수 — 가장 큰 인수를 p 에 둡니다.

합 = p - (q+r), 양수 조건: p ＞ q+r.

5STEP 5

경우 B: p 를 최댓값으로 두고 p - q - r 을 계산해 양수만 남기면, 10 - 6 - 1 = 3 에서 최소.

min_경우 B, 양수(p-q-r) = 10 - 6 - 1 = 3, 즉 (10, -6, -1).

6STEP 6

비교: 경우 A 는 12, 경우 B 는 3. 전체 최소 양의 합은 3 — 선택지 (B).

min(12, 3) = 3 → (B).

정답

당선 삼중쌍 (10, -6, -1) 을 끝까지 검산합니다. 곱: 10 · (-6) · (-1) = 10 · 6 = 60, 일치. 합: 10 + (-6) + (-1) = 10 - 7 = 3, 요구대로 양수. 합이 1 또는 2 가 되는 경우는 없을까요? 경우 B 에서 p - q - r ∈ {1, 2} 이려면 p = q + r + 1 또는 p = q + r + 2 이면서 pqr = 60. 60 의 약수 삼중쌍을 모두 따져 보면: (60,1,1) → 58, (30,2,1) → 27, (20,3,1) → 16, (15,4,1) → 10, (12,5,1) → 6, (10,6,1) → 3, 그 이후는 모두 3 보다 작거나 음수. 따라서 3 이 진짜 최솟값이고 답은 (B) 로 확정됩니다.

💡핵심 정리

음수 × 음수 = 양수이므로 음수 두 개를 끼우면 거대한 인수 10 도 합 3 으로 줄어듭니다. 먼저 부호 경우를 쪼개고 그다음에 인수 삼중쌍을 나열하는 두 단계만 거치면, 이 AMC 10 문제는 6-7학년 수준의 작업으로 바뀝니다.

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