AMC 10 · 2024 · #9

학년 7 counting

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Arrangement Block Type

combinations-basicsystematic-enumerationset-partition identify-subproblemscasework ↑ 선수 지식: factorialmulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

6 명의 11학년과 6 명의 12학년 학생 12 명을, 각 팀이 정확히 11학년 2 명과 12학년 2 명으로 이루어진 4 인 팀 3 개로 나누는 방법의 수를 구하세요. 단, 팀에는 이름이 없습니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

720

(B)

1350

(C)

2700

(D)

3280

(E)

8100

AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

11학년·12학년 두 갈래의 선택과 세 팀이 한데 얽혀 있어, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)을 부르는 신호입니다. 첫 팀의 11학년 2 명과 12학년 2 명을 고르고, 다음으로 둘째 팀, 마지막으로 셋째 팀을 차례로 고르면 각 단계가 깔끔한 C(n, 2) 계산이 되고, 그 곱이 "순서가 있는" 팀 배치(A팀, B팀, C팀)의 수입니다. 그런데 문제는 "3개의 서로소 팀"이라고만 했으니 팀에 이름이 없습니다. 도구 #16(관점 바꾸기)으로 시야를 바꿔 보면, 같은 팀 조합 하나가 라벨 배치에 따라 3! 번씩 세어졌음을 알 수 있고, 3! 로 나누면 라벨 없는 진짜 답이 나옵니다.

1STEP 1

작은 문제 1(A팀): 11학년 6 중 2, 12학년 6 중 2 를 골라 곱하면 225 가지.

C(6, 2) × C(6, 2) = 15 × 15 = 225

2STEP 2

작은 문제 2(B팀): 남은 11학년 4, 12학년 4 에 같은 방식 — 36 가지.

C(4, 2) × C(4, 2) = 6 × 6 = 36

3STEP 3

작은 문제 3(C팀): 11학년 2, 12학년 2 만 남아 자동으로 정해져 단 1 가지.

C(2, 2) × C(2, 2) = 1 × 1 = 1

4STEP 4

세 단계를 곱하면 라벨 있는 배치(A·B·C 순서): 225 × 36 × 1 = 8100.

225 × 36 × 1 = 8100 가지 (라벨 있는 배치)

5STEP 5

팀엔 이름이 없어 각 분할이 3!=6 번 세어졌으니 나누면 8100 ÷ 6 = 1350 → (B).

\frac{8100}{3!}

\frac{8100}{6}

= 1350 → (B)

정답

1350

3! 로 나누는 보정을 작은 경우로 점검합니다. 11학년 {J₁, J₂}, 12학년 {S₁, S₂} 를 1 팀(4명)으로 만드는 경우: 라벨 있는 수는 C(2, 2)C(2, 2)=1, 라벨 없는 수도 1 —

\frac{1}{1!}

=1 과 일치. 11학년 4 명, 12학년 4 명을 2 팀으로 나누는 경우: 라벨 있는 수는 C(4, 2)C(4, 2)·C(2, 2)C(2, 2)=36, 라벨 없는 수는

\frac{36}{2!}

=18. 한 팀의 11학년 쌍을 6 가지, 12학년 쌍을 6 가지로 짝짓고 라벨 맞바꿈 2! 로 나누면 같은 18 이 나옵니다. 본 문제의 ÷ 3! 도 같은 원리입니다. 또한 선택지 (E) 8100 은 정확히 라벨 있는 수이므로, 라벨 보정을 빠뜨린 학생이 빠질 함정이고 (B) 1350 은 그것의

\frac{1}{6}

로 자연스럽게 맞습니다.

💡핵심 정리

팀을 하나씩 차례로 뽑고 마지막에 3! 로 나눠 라벨을 잊으면 — AMC 10 의 경우의 수 문제가 7학년 "복합 사건" 계산으로 줄어듭니다.

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