AMC 10 · 2024 · #10

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

similar-trianglesarea-trianglesratio-proportioncoordinate-geometry identify-subproblemscoordinate-geometryarea-difference ↑ 선수 지식: similar-trianglesarea-trianglesratio-proportion

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

ABCD 가 평행사변형이고 E 는 변 AD 의 중점입니다. F 는 직선 EB 와 대각선 AC 의 교점이라 할 때, 사각형 CDEF 의 넓이와 △ CFB 의 넓이의 비를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

5:4

(B)

4:3

(C)

3:2

(D)

5:3

(E)

2:1

AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

이 문제는 순수 기하 — 평행사변형, 중점, 대각선, 교점 한 곳. 도구 #1(그림 그리기) 로 모든 길이와 삼각형을 한 장에 펼치면 닮은 삼각형 쌍이 한눈에 보입니다. 이어서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 이 일을 깔끔히 토막냅니다 — (a) △ AEF 와 △ CBF 의 닮음비 구하기, (b) 그 비로 △ AEF, △ CBF, △ ABF 의 넓이를 한 미지수 x 로 묶기, (c) 대각선으로 △ ADC 의 넓이 알아내기, (d) 빼서 넓이(CDEF) 를 구한 뒤 요구된 비를 만들기.

1STEP 1

AD ∥ BC 라 엇각이 같고 F 의 맞꼭지각까지 더하면 세 각이 같아 △ AEF ∼ △ CBF (AA 닮음).

△ AEF ∼ △ CBF

2STEP 2

E 가 중점이라 AE = $\frac{1}{2}$ BC, 대응변 AE:CB = 1:2 — 모든 대응 길이가 이 비를 따라 AF:FC = 1:2.

\frac{AE}{CB}

\frac{1}{2}

\frac{AF}{FC}

\frac{1}{2}

3STEP 3

넓이비는 (1:2)² 라 [△ AEF] = x 면 [△ CBF] = 4x, 같은 높이 △ ABF 는 밑변비로 [△ ABF] = 2x.

[△ AEF] = x, [△ CBF] = 4x, [△ ABF] =

\frac{1}{2}

[△ CBF] = 2x

4STEP 4

대각선 AC 가 평행사변형을 반으로 나눠 [△ ABC] = [△ ABF] + [△ CBF] = 6x, 따라서 [△ ADC] = 6x.

[△ ABC] = 2x + 4x = 6x = [△ ADC]

5STEP 5

CDEF 는 [△ ADC] 에서 [△ AEF] 를 뺀 것이라 [CDEF] = 5x, [△ CBF] = 4x 와 비 5x : 4x.

\frac{[CDEF]}{([△ CBF])}

\frac{5x}{4x}

\frac{5}{4}

→ (A)

정답

5:4

부품 검산: 평행사변형 전체 넓이는 12x (6x + 6x). 내부에 이름 붙인 네 부분 — △ AEF (x), △ CBF (4x), △ ABF (2x), 사각형 CDEF (5x) — 의 합은 x + 4x + 2x + 5x = 12x 로 평행사변형 전체와 정확히 일치. 비 5:4 는 1:1 보다 크고 3:2 보다 작은 유일한 선택지이기도 해, CDEF 가 △ CBF 보다 "조금만 크다" 는 직관과도 맞습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 닮은 삼각형만 알면 풀 수 있어요 — 중점이 1:2 변비를 만들고 그것이 1:4 넓이비가 되며, 나머지는 삼각형 넓이의 더하기·빼기로 끝!

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