AMC 10 · 2024 · #11

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

similar-trianglesarea-trianglespythagorean-theoremarea-rectangles identify-subproblemsconvert-to-algebraarea-difference ↑ 선수 지식: similar-trianglesarea-trianglespythagorean-theoremarea-rectangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

WX = 4, WZ = 8 인 직사각형 WXYZ 에서, 점 M 은 변 XY 위에, 점 A 는 변 YZ 위에 있습니다. △ WMA 의 점 M 에서의 각은 직각이고, 두 모서리 삼각형 △ WXM 과 △ WAZ 의 넓이가 같습니다. △ WMA 의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

이 문제는 그림이 전부입니다 — 직사각형이 WM 과 MA 라는 선분으로 잘려 네 삼각형이 되고, 그 넓이의 합은 32 가 되어야 합니다. 도구 #1(그림 그리기)이 이 분해를 한눈에 보여줍니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 조건을 두 개로 깔끔히 나눕니다 — "넓이가 같다" 는 조건이 XM 과 ZA 를 잇고, M 에서의 직각이 피타고라스 정리를 통해 같은 두 변수를 또 한 번 묶어줍니다. 도구 #13(대수로 바꾸기)은 XM = b, ZA = a 라는 이름을 붙여 위 두 조건을 2 × 2 연립방정식으로 만들어 a, b 를 결정합니다. a, b 가 정해지면 32 에서 모서리 삼각형 세 개의 넓이를 빼는 것으로 답이 곧장 나옵니다.

1STEP 1

모서리 길이를 XM = b, ZA = a 로 두면 MY = 8 - b, AY = 4 - a; 모서리 삼각형 넓이는 두 변으로 바로 읽혀요.

[△ WXM] =

\frac{1}{2}

· 4 · b = 2b, [△ WAZ] =

\frac{1}{2}

· 8 · a = 4a, [△ MAY] =

\frac{1}{2}

(8-b)(4-a)

2STEP 2

넓이가 같다는 조건 [△ WXM] = [△ WAZ] 는 2b = 4a, 즉 b = 2a 로 정리돼요.

2b = 4a ⟹ b = 2a

3STEP 3

M 에서의 직각이 피타고라스 정리 WM² + MA² = WA² 를 켜서 a, b 를 잇는 둘째 식을 줘요.

(16 + b²) + ((8-b)² + (4-a)²) = 64 + a²

4STEP 4

전개하고 b = 2a 를 넣으면 모두 a² - 5a + 4 = 0 로 줄어, a = 1 또는 a = 4.

(a-1)(a-4) = 0 ⟹ a = 1 또는 a = 4

5STEP 5

a = 4 는 삼각형을 선분으로 찌그러뜨리니 버리고, a = 1, b = 2 로 MY = 6, AY = 3.

a = 1, b = 2, MY = 6, AY = 3

6STEP 6

직사각형 32 에서 모서리 세 넓이 4, 4, 9 를 빼면 안쪽 삼각형 넓이 15.

[△ WMA] = 32 - 4 - 4 - 9 = 15 → (C)

정답

△ WMA 의 두 직각변으로 다시 확인: WM = √(16 + 4) = √(20), MA = √(36 + 9) = √(45) 이므로

\frac{1}{2}

WM · MA =

\frac{1}{2}

√(20 · 45) =

\frac{1}{2}

√(900) = 15. 같은 답. 또 15 는 직사각형 전체 넓이 32 의 절반보다 살짝 작은 값이라, 그림에서 △ WMA 가 네 조각 중 가장 크지만 압도적이지는 않은 점과도 맞아떨어집니다.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 피타고라스 정리와 6학년 "직사각형에서 모서리 빼기" 넓이 셈만 알면 풀 수 있어요!

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