경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 10 · 2024B · #12
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AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
"상대가 모르는 언어를 서로 안다" 는 표현은 말로는 까다롭지만 집합으로 풀면 깔끔합니다 — 두 학생 모두 정확히 k 개를 알고 어느 쪽도 다른 쪽의 부분집합이 아니라면, 두 집합은 서로 다른 집합입니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 추상도를 낮춥니다: n=2, k=1이면 가능한 학생은 최대 C(2, 1)=2 명; n=3이면 최대 3 명; 패턴은 "학생 수 ≤ C(n, k)". 그다음 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 n = 7, 8, 9를 순서대로 시험해 C(n, k)가 처음으로 100을 넘는 지점을 찾고 (k 는 n/2 근처가 최대), 도구 #16(관점 바꾸기)이 "서로 모르는 언어가 있다" 는 양방향 조건을 "두 집합이 서로 부분집합이 아님" 한 개로 줄여줍니다 — 크기가 같다는 가정 위에서는 사실상 "서로 다른 집합" 과 같습니다.
언어 조건을 집합으로 바꾸기
말을 집합으로: 크기가 같은 k 라서 "서로 포함 안 됨" 은 곧 두 집합이 다름.
크기가 같은 두 집합은 포함관계라면 곧 같은 집합이라, "포함 아님" 이 "다름" 으로 줄어듭니다 — 점검 한 번이면 충분.
7.SP.C.8Change Focus Count The Complement작은 경우 해 보기
작은 경우로: n 개 언어의 서로 다른 k-부분집합은 C(n, k) 개, 그래서 학생 수는 최대 C(n, k).
100 명을 3, 4 명으로 줄여서 셈해 보면 일반 한계 C(n, k)가 그대로 튀어나옵니다 — Polya 의 "유추 원리".
7.SP.C.8Solve An Easier Related Problem찾을 조건 세우기
목표: C(n, k) ≥ 100 을 만족하는 최소 n. C(n, k)는 k 가 근처일 때 최대라 그 값만 보면 됨.
C(n, ⌊ n/2 ⌋)은 파스칼 삼각형 n 번째 줄의 가운데 항으로 그 줄 중 가장 큰 수, 그것만 확인하면 줄 전체가 정해집니다.
같은 크기의 무리를 가장 많이 만들려면 전체를 되도록 고르게 나누어야 한다.
▸ 왜?
고르게 나뉜 부분이 정해진 전체를 가장 잘 살리므로, 한가운데의 나눔이 가장 크다.
▸ 왜?
무리를 고르는 것은 무엇을 뺄지 고르는 것과 같으므로, 개수가 가운데를 중심으로 대칭이다.
7, 8, 9 확인하기
확인: C(7, 3)=35, C(8, 4)=70은 부족, C(9, 4)=126 ≥ 100 통과 — n = 9, k = 4가 처음.
n 을 하나씩 올리면 가운데 이항계수는 대략 두 배씩 커지니, 100을 빠르고 깔끔하게 넘깁니다.
7.SP.C.8Guess And Check실제로 되는지 확인하기
구성: 9 개 언어에서 서로 다른 4-집합을 학생마다 배정 — 126 개 존재, 모두 크기 같아 포함관계 없음. 최솟값 9.
한계만으로는 부족하고 "진짜 그렇게 만들 수 있다" 는 구성까지 보여야 최솟값이 확정됩니다 — 9는 되고 8은 안 되니 답.
7.SP.C.8Solve An Easier Related Problem이 AMC 10 문제는 사실 7학년 "부분집합 세기" 조합 — C(n, k) — 만 알면 풀 수 있어요!
- 언어 조건을 집합으로 바꾸기
- 작은 경우 해 보기
- 찾을 조건 세우기
- 7, 8, 9 확인하기
- 실제로 되는지 확인하기
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