AMC 10 · 2024 · #14

학년 8 probability

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

probability-basicarea-circlescoordinate-geometryfraction-arithmetic identify-subproblemsarea-differenceconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: probability-basicarea-circlescoordinate-geometry

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

평면 위 영역 B 는 |x| + |y| ≤ 8 을 만족하는 점 (x, y) 전체, 영역 T 는 (x² + y² - 25)² ≤ 49 를 만족하는 점 전체입니다. 다트가 B 위에 균일하게 임의로 떨어질 때 T 에 떨어질 확률은 기약분수꼴

\frac{m}{n}

π 로 쓸 수 있습니다. m + n 을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

135

AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

두 영역 모두 평면 위에 있고 답이 넓이의 비이므로 그림이 모든 것을 결정합니다. 도구 #1(그림 그리기)이 각 부등식의 정체를 드러냅니다 — |x| + |y| ≤ 8 은 대각선이 좌표축 위에 있는 45° 회전 정사각형, (x² + y² - 25)² ≤ 49 는 원점 중심의 원환(annulus). 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 계산을 세 조각으로 나눕니다 — B 의 넓이, T 의 넓이, 그리고 비율. 도구 #13(대수로 바꾸기)은 표적 부등식을 정리: r² = x² + y² 로 놓으면 (r² - 25)² ≤ 49 가 |r² - 25| ≤ 7, 즉 18 ≤ r² ≤ 32 — 두 동심원 사이.

1STEP 1

|x| + |y| ≤ 8 은 대각선이 축 위 길이 16 인 45° 정사각형, 그래서 Area(B) = $\frac{1}{2}$ ·16·16 = 128.

Area(B) =

\frac{1}{2}

(16)(16) = 128

2STEP 2

r² = x² + y² 로 두면 (r² - 25)² ≤ 49 는 |r² - 25| ≤ 7, 즉 18 ≤ r² ≤ 32.

(r² - 25)² ≤ 49 ⇔ 18 ≤ r² ≤ 32

3STEP 3

고리 18 ≤ r² ≤ 32 는 r²=32 원판에서 r²=18 원판을 뺀 것, Area(T) = π(32) - π(18) = 14π.

Area(T) = π(32) - π(18) = 14π

4STEP 4

T 의 바깥 반지름 √(32) = 4√(2) 는 원점–변 거리 $\frac{8}{√(2)}$ 와 같아, 고리가 정사각형 안에 접함: T ⊆ B.

√(32) = 4√(2) = dist(원점, B의 변) ⟹ T ⊆ B

5STEP 5

확률 = $\frac{14π}{128}$ = $\frac{7π}{64}$ , 그래서 m = 7, n = 64 는 서로소이고 m + n = 71.

\frac{m}{n}

π =

\frac{14π}{128}

\frac{7π}{64}

⟹ m + n = 7 + 64 = 71 → (B)

정답

원환 넓이 14π ≈ 44, 정사각형 넓이 128 이니 확률은 약

\frac{44}{128}

≈ 0.34. 다이아몬드의 꽤 큰 부분을 차지하는 두꺼운 고리에 어울리는 값입니다. 두 번째 확인: 7 과 64 가 서로소인지 — 맞습니다. 다른 선택지들은 그럴듯한 실수에 대응: (A) 39 = 7 + 32 는 안쪽 원을 빼지 않은 결과, (E) 135 = 14 + 121 은 √(32) 계산 실수에서 나옴. 우리의 (B) = 71 이 깔끔한 정답.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 제곱근 추론과 7학년 원 넓이 공식만 알면 풀 수 있어요!

비슷한 유형 더 풀어보기