경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 10 · 2024B · #16

학년 4 rate-ratio
유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Rule-Governed Process Simulation
parityinvariant-monovariantmodular-arithmeticpattern-recognition pattern-recognitionidentify-subproblemscasework ↑ 선수 지식: paritymodular-arithmeticpattern-recognition
📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트
📘 쉬운 버전 보기 →
문제
칠판에 1부터 2024까지의 정수가 적혀 있습니다. 한 번의 동작은 칠판 위 네 수를 골라 지우고, 그 자리에 네 수의 합 또는 곱 중 하나를 적는 것입니다. 어느 시점에서 칠판 위 모든 수가 홀수가 되었습니다. 그때 칠판에 남아 있을 수 있는 수의 개수의 최댓값은?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
1010
(B)
1011
(C)
1012
(D)
1013
(E)
1014

AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 패턴 찾기

칠판은 매 동작마다 규칙적으로 변하므로 두 가지 패턴을 찾는 일이 됩니다 — 도구 #5. 패턴 1: 전체 개수는 한 동작마다 정확히 3씩 줄어드므로 최종 개수는 3으로 나눈 나머지가 고정. 패턴 2: 칠판 위 홀수의 개수를 추적해 보면, 새로 홀수를 만드는 모든 경우에서 홀수 개수가 늘지는 않습니다(단조감소). 두 패턴(하나는 정확한 불변량, 하나는 단조량)이 답을 대수 없이 묶어 줍니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 일을 (a) 모듈로 천장, (b) 홀수-개수 천장, (c) 1010이 실제 도달 가능함을 보이는 구성 — 세 조각으로 나눕니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 두 천장을 다섯 선택지에 적용해 답을 가려냅니다 — AMC 객관식의 가장 기본 무브입니다.

1STEP 1

짝수와 홀수 세기

시작 분류: 1부터 2024까지에 짝수 1012개, 홀수 1012개, 전체 2024개.

짝수 = 1012, 홀수 = 1012, 전체 = 2024
2STEP 2

이동마다 개수 변화 보기

패턴 1: 한 동작은 개수를 3 줄이니 k번 뒤엔 2024 - 3k, 따라서 N ≡ 2 (mod 3).

N = 2024 - 3k → N ≡ 2 (mod 3)
3STEP 3

나머지로 선택지 줄이기

선택지를 3으로 나눠 보면 나머지 2는 1010과 1013뿐, B·C·E 탈락.

1010 ≡ 2, 1011 ≡ 0, 1012 ≡ 1, 1013 ≡ 2, 1014 ≡ 0 (mod 3)
4STEP 4

홀수 개수 변화 보기

패턴 2: 홀수 개수 D 추적. 홀수를 만드는 세 동작은 D를 -3, 0, -2로 바꿔 — 절대 늘지 않음.

Δ D ∈ {-3, 0, -2} → Δ D ≤ 0
5STEP 5

두 번째 상한 구하기

D는 1012에서 시작해 늘지 않고 끝은 전부 홀수 → 최종 개수는 1012 이하, 1013 탈락, 1010만 남음.

N_최종 = D_최종 ≤ 1012 → N_최종 ≤ 1012
6STEP 6

1010에 닿는 과정 만들기

1단계: 짝수 셋과 홀수 하나의 합(홀수)을 337회 — 짝수 1011개 제거, 홀수 1012 유지, 짝수 1개 남음.

337 × (E,E,E,O → O): 1012 - 1011 = 1 짝수, 1012 홀수
7STEP 7

마지막 짝수 없애기

2단계: 마지막 짝수와 홀수 셋을 합(홀수) — 홀수 1010으로, 전부 홀수, N = 1010 (A).

(E,O,O,O) → O: 0 짝수, 1012 - 2 = 1010 홀수 → N = 1010 → (A)
정답
1010
독립적인 두 천장 — "3으로 나눈 나머지가 2" 와 "최종 개수 ≤ 시작 홀수 개수 = 1012" — 만으로 다섯 선택지 중 1010만 남고, 구체적 구성이 정확히 1010을 만들어 냅니다. 추가 확인: 동작 수 = 338회, 총 개수 감소 = 338 × 3 = 1014, 2024 - 1014 = 1010으로 일치. 1010 ≡ 2 (mod 3)도 패턴 1과 부합. 두 천장이 모두 등호로 달성되므로 (A)는 상한이면서 도달 가능합니다.
💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 4학년 "패턴 잇기" 규칙만 알면 풀 수 있어요 — 한 동작에 개수는 3씩 줄고, 홀수 개수는 절대 늘지 않는다, 이 둘만 보면 됩니다!

  • 짝수와 홀수 세기
  • 이동마다 개수 변화 보기
  • 나머지로 선택지 줄이기
  • 홀수 개수 변화 보기
  • 두 번째 상한 구하기
  • 1010에 닿는 과정 만들기
  • 마지막 짝수 없애기

가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.

비슷한 유형 더 풀어보기

같은 유형의 문제예요. 태그는 이 문제와 겹치는 부분이에요.