경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2018 · #19
학년 4 countingpattern
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AMC 8 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
맨 아래 줄을 채우는 경우의 수는 2⁴ = 16 가지뿐이라 손으로 모두 나열해 볼 수 있습니다 (도구 #2). 다만 곧장 16 가지를 다 적기보다, 먼저 맨 아래 줄이 2 칸인 더 작은 피라미드 (도구 #9 더 쉬운 문제)와 3 칸인 경우를 풀어 보고, 거기서 규칙성을 찾는 (도구 #5) 게 훨씬 깔끔합니다. 작은 경우에서 보이는 규칙은 "맨 왼쪽 한 칸만 바꾸면 꼭대기 부호도 그대로 한 번 뒤집힌다" 라는 점이고, 그래서 전체의 정확히 절반이 꼭대기에 + 를 만든다는 결론이 나옵니다. 4 칸짜리에도 같은 논리를 적용한 뒤, 마지막에 직접 나열해서 한 번 더 검증합니다.
부호 규칙 정리하기
그림에서 규칙을 읽으면 아래 두 칸이 같을 때만 +, 다르면 - 입니다.
이것은 4학년의 "주어진 규칙대로 패턴 만들기" 그대로입니다 — 입력 두 개에서 출력 한 개를 만드는 규칙을 반복 적용할 뿐입니다.
4.OA.C.5Make A Systematic List아랫줄 2칸 해 보기
2 칸짜리부터: 2² = 4 가지 중 꼭대기가 + 인 것은 정확히 2 가지 — 절반.
문제를 작게 줄이면 (도구 #9) 4학년 학생도 손으로 규칙을 직접 적용해 보고 어느 정도가 "성공" 인지 확인할 수 있습니다.
4.OA.C.5Solve An Easier Related Problem아랫줄 3칸 해 보기
3 칸짜리: 2³ = 8 가지 중 꼭대기가 + 인 것은 정확히 4 가지 — 역시 절반.
도구 #2(빠짐없이 나열하기)의 핵심은 정한 순서대로 적는 것 — 4학년의 규칙 적용을 한 줄씩 따라가면 빠짐없이 셀 수 있습니다.
4.OA.C.5Make A Systematic List규칙 찾기
이유는: 맨 왼쪽 칸을 뒤집으면 꼭대기까지 부호가 뒤집혀 줄이 절반씩 짝지어집니다.
"한 곳만 뒤집어도 결과가 그대로 뒤집힌다" 는 4학년 수준의 패턴 추론으로, 왜 항상 절반인지 자연스럽게 설명됩니다.
네 개의 아래 칸을 채우는 모든 방법 가운데 정확히 절반이 맨 위에 +를 만든다.
▸ 왜?
맨 위가 +가 되는 채움과 -가 되는 채움은 서로 짝지어져 크기가 같은 두 무리로 갈라지며, 그 둘을 합치면 가능한 모든 채움이 된다.
▸ 왜?
맨 왼쪽 아래 칸 하나만 뒤집으면 맨 위의 부호가 언제나 바뀌므로, +로 끝나는 채움은 -로 끝나는 채움으로 바뀌고 다시 뒤집으면 되돌아온다.
▸ 왜?
맨 왼쪽 칸의 뒤집힘은 바로 위 칸을 바꾸고, 그 변화가 한 층씩 위로 전달되어 맨 위에 이르러 부호를 뒤집는다.
▸ 왜?
칸은 아래 두 칸 중 -가 짝수 개일 때 +, 홀수 개일 때 -가 되므로, 그 두 칸 중 하나만 바꾸면 -가 정확히 하나 늘거나 줄어 짝수와 홀수가 뒤바뀌고 그 칸은 반대 부호로 옮겨간다.
▸ 왜?
맨 왼쪽 칸을 뒤집으면 +로 끝나는 각 채움이 정확히 하나의 -로 끝나는 채움과 짝지어지고 남는 것이 없으므로, 두 무리는 같은 개수의 채움을 가진다.
▸ 왜?
+로 끝나는 채움과 -로 끝나는 채움은 겹치지 않고 합치면 모든 채움이 되므로, 전체를 이루는 크기가 같은 두 무리는 각각 정확히 절반이다.
4칸에 규칙 적용하기
4 칸에 적용: 2⁴ = 16의 절반이므로 답은 16 ÷ 2 = 8 가지 — 선택지 (C).
4학년 학생도 "절반 규칙" 을 그대로 쓰고, 동시에 8 가지 성공 사례를 직접 적어 확인할 수 있습니다.
4.OA.C.5Make A Systematic List이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "규칙대로 따라가서 패턴 찾기" 만 알면 풀 수 있어요!
- 부호 규칙 정리하기
- 아랫줄 2칸 해 보기
- 아랫줄 3칸 해 보기
- 규칙 찾기
- 4칸에 규칙 적용하기
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