AMC 10 · 2024 · #17

학년 7 arithmetic

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Count of Type

combinations-basicpermutations-basicset-partitionsystematic-enumeration caseworkidentify-subproblemssystematic-enumeration ↑ 선수 지식: combinations-basicpermutations-basicfactorial

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

이름이 서로 다른 다섯 마리 달팽이가 한 번의 경주를 마칩니다. 동점은 최대 한 번만 허용되며, 그 한 번의 동점에는 2, 3, 4, 5 마리 중 몇 마리든 한 자리에 묶일 수 있습니다. 가능한 모든 서로 다른 결과의 수를 구하시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

180

(B)

361

(C)

420

(D)

431

(E)

720

AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

"동점은 최대 한 번" 이라는 조건이 큰 분기 — 동점의 크기 k ∈ {0, 2, 3, 4, 5} (k = 1은 사실상 "동점 없음")에 따라 다섯 개의 깔끔한 경우로 나뉩니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)에 정확히 맞아 떨어지고, 각 경우를 따로 세어 더하면 끝. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 경우의 순서를 정해 중복·누락을 막아 줍니다. 각 경우 안에서는 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)를 씁니다 — 동점인 k마리를 하나의 블록으로 묶으면 남는 일은 "6 - k개의 블록을 동점 없이 줄 세우기"뿐, 작은 계승 문제로 줄어듭니다. 어떤 k마리가 동점인지는 C(5, k) 가 결정해 줍니다.

1STEP 1

동점 크기 k로 나눔: k = 0(동점 없음)과 k ∈ {2, 3, 4, 5}, 각 경우 수 = (누가 동점) × (블록 줄 세우기).

전체 = N₀_k=0 + N₂ + N₃ + N₄ + N₅

2STEP 2

경우 k = 0: 다섯 마리 모두 다른 등수라 5! = 120가지.

N₀ = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

3STEP 3

경우 k = 2: 동점 쌍 C(5,2)=10, 블록 4개 4!=24 → 240가지.

N₂ = C(5, 2) · 4! = 10 · 24 = 240

4STEP 4

경우 k = 3: 동점 3마리 C(5,3)=10, 블록 3개 3!=6 → 60가지.

N₃ = C(5, 3) · 3! = 10 · 6 = 60

5STEP 5

경우 k = 4: 동점 4마리 C(5,4)=5, 블록 2개 2!=2 → 10가지.

N₄ = C(5, 4) · 2! = 5 · 2 = 10

6STEP 6

경우 k = 5: 전원 동점, C(5,5)=1, 1!=1 → 단 1가지.

N₅ = C(5, 5) · 1! = 1 · 1 = 1

7STEP 7

서로 배반인 다섯 경우를 더하면 120 + 240 + 60 + 10 + 1 = 431.

전체 = 120 + 240 + 60 + 10 + 1 = 431 → (D)

정답

431

동점 크기에 따른 경우들은 정의상 서로 배반(한 번의 경주에 동점 크기는 하나)이므로 합의 법칙이 그대로 적용됩니다. 작은 경우로 점검: k = 5 는 명백히 1가지. k = 4 는 동점이 아닌 한 마리를 5가지로 고른 뒤, 그 한 마리가 사인조보다 앞이거나 뒤이거나 2가지 → 5 · 2 = 10 일치. 총 431 은 (D). 상한 점검: 동점 제한이 전혀 없는 "순서있는 분할"의 수는 더 크지만(소위 ordered Bell number), 단지 "동점 없음"만이라면 5! = 120. 431 은 720 인 (E)보다 충분히 아래라 직관과 부합합니다.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 7학년의 "경우 나눠 세기" — 동점 크기별로 나눈 뒤 (누가 동점인지) × (블록을 어떻게 세우는지) 를 곱해 더하기 — 만 알면 풀 수 있어요!

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