AMC 10 · 2024 · #20

학년 7 counting

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Arrangement Block Type

permutations-basiccombinations-basicsystematic-enumerationpattern-recognition systematic-enumerationcaseworkidentify-subproblems ↑ 선수 지식: permutations-basiccombinations-basicfactorial

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

서로 다른 신발 세 켤레 — P₁, P₂, P₃, 각 켤레는 왼쪽 L_i 와 오른쪽 R_i — 를 한 줄 여섯 자리에 배열합니다. 규칙: 서로 다른 켤레의 왼쪽 신발과 오른쪽 신발은 이웃할 수 없다 (즉 L_i 와 R_j 가 인접하려면 반드시 i = j). 서로 다른 여섯 신발의 배열 중 규칙을 지키는 것은 몇 가지?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

108

(E)

120

AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

신발이 복잡해 보이지만, 규칙이 신경 쓰는 건 L 과 R 사이의 경계뿐 입니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 가 두 층 계획을 깔끔히 줍니다: 1층 — L 셋·R 셋의 종류 문자열 중 금지 경계가 없는 것들을 빠짐없이 나열, 2층 — 살아남은 각 문자열에 대해 L 들을 L₁, L₂, L₃, R 들을 R₁, R₂, R₃ 로 이름 붙이되 모든 L-R 경계가 짝이 맞는 쌍이 되도록 세기. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 가 종류 문자열을 블록 모양 네 부류로 나눠 줍니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 가 이름 붙이기 층을 부류별 작은 순열 수로 줄여 줍니다.

1STEP 1

이름을 떼고 L/R 골격만 보면 모든 L-R 경계는 짝이 맞는 쌍 — 종류 부분 문자열 LRL 또는 RLR 은 불가능.

경계 L_i R_j → i = j; LRL, RLR 는 종류 부분 문자열로 금지

2STEP 2

L 셋·R 셋 종류 문자열 중 LRL, RLR 없는 것을 나열하면 정확히 8개, 경계 수로 세 부류.

유효 종류 문자열 = {LLLRRR, RRRLLL, LLRRRL, LRRRLL, RLLLRR, RRLLLR, LRRLLR, RLLRRL}

3STEP 3

부류 A (경계 1개: LLLRRR, RRRLLL): 경계 짝 고정(3가지), 양쪽 남은 신발 줄 세우기 — 문자열당 12, 부분합 24.

3 · 2! · 2! = 12 각각, 부분합 = 12 + 12 = 24

4STEP 4

부류 B (경계 2개: 4개 문자열): 서로 다른 두 짝 순서 있게 고르면 P(3,2)=6, 나머지 자동 강제 — 문자열당 6, 부분합 24.

P(3, 2) = 6 각각, 부분합 = 4 · 6 = 24

5STEP 5

부류 C (경계 3개: LRRLLR, RLLRRL): 세 경계가 세 짝을 순서대로 사용, 문자열당 3!=6, 부분합 12.

3! = 6 각각, 부분합 = 2 · 6 = 12

6STEP 6

서로 배반인 세 부분합을 더하면 24 + 24 + 12 = 60, 선택지 (A).

전체 = 24 + 24 + 12 = 60 → (A)

정답

다른 길로 교차 확인. 8 개의 유효 종류 문자열을 경계 수 1, 2, 3 의 세 부류로 나눴고, 문자열당 값 12, 6, 6 은 경계 수에만 의존합니다 — 12 = 3 · (2!)² (경계 1), 6 = 3 · 2 (경계 2, 서로 다른 두 쌍의 순서 있는 선택), 6 = 3! (경계 3). 합산: 2 · 12 + 4 · 6 + 2 · 6 = 24 + 24 + 12 = 60. 무제약 전체 6! = 720 보다 훨씬 작아 인접 제약이 실제로 강하게 작용함과 부합. 답 (A) = 60.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 7학년의 정리된 세기 — 모든 유효 L/R 골격을 나열하고, 경계마다 이름 붙이는 가짓수를 세서 더하기 — 만 알면 풀려요. 답은 60!

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