AMC 10 · 2024 · #21

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

pythagorean-theoremcoordinate-geometrytangent-circlessimilar-triangles identify-subproblemsconvert-to-algebracasework ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremcoordinate-geometryarea-circles

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

반지름이 1 과

\frac{1}{4}

인 두 원기둥 파이프가 평평한 바닥 위에 서로 닿아 놓여 있습니다. 같은 바닥 위에 반지름 r 인 세 번째 파이프가 놓여 두 파이프 모두에 닿을 때, r 의 가능한 값은 정확히 두 가지입니다. 그 두 값을 더한 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$~\frac{1}{9}$

(B)

(C)

$~\frac{10}{9}$

(D)

$~\frac{11}{9}$

(E)

$~\frac{19}{9}$

AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

전체가 한 장의 정면도이므로 도구 #1(그림 그리기)이 출발입니다. 바닥을 가로선으로 두고 두 원을 심어 두면, 바닥에 놓인 반지름 ρ 인 원의 중심은 높이 ρ 에 있다는 사실이 한눈에 들어옵니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 핵심 재사용 도구를 만들어 줍니다 — 바닥에 놓인 두 원이 외접할 때 두 중심의 수평 거리는 피타고라스 정리에서 한 줄에 2√(ρ₁ ρ₂) 로 나옵니다. 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 "새 파이프가 두 기존 파이프에 닿는다" 를 √(r) 에 대한 수평 거리 방정식 두 개로 옮기고, 도구 #14(경우 나누기)로 새 파이프 위치 두 가지(사이 vs 바깥)를 |x - 1| 의 ± 한 번으로 처리합니다.

1STEP 1

바닥은 y = 0; 놓인 원의 중심은 반지름 높이에 있으므로 중심을 A = (0, 1), B = (x_B, $\frac{1}{4}$ ) 로 둡니다.

A = (0, 1), B = (x_B,

\frac{1}{4}

)

2STEP 2

닿음 조건 |AB| = $\frac{5}{4}$ , 수직 차 $\frac{3}{4}$ 이므로 피타고라스로 x_B = 1.

x_B² = (

\frac{5}{4}

)² - (

\frac{3}{4}

)² =

\frac{25 - 9}{16}

= 1 → x_B = 1

3STEP 3

바닥에 놓인 두 외접 원이면 같은 삼각형이 수평 거리 2√(ρ₁ ρ₂) 를 주는 재사용 지름길입니다.

Δ x(ρ₁, ρ₂) = √((ρ₁+ρ₂)² - (ρ₁-ρ₂)²) = 2√(ρ₁ ρ₂)

4STEP 4

새 파이프 C = (x, r) 는 두 기존 파이프와 닿아 |x| = 2√(r), |x - 1| = √(r) 를 줍니다.

|x| = 2√(r), |x - 1| = √(r)

5STEP 5

사이(0 ＜ x ＜ 1)면 3√(r) = 1 → r = $\frac{1}{9}$ ; 바깥(x ＞ 1)이면 √(r) = 1 → r = 1.

(i) 3√(r) = 1 → r =

\frac{1}{9}

, (ii) √(r) = 1 → r = 1

6STEP 6

두 반지름을 더하면 $\frac{1}{9}$ + 1 = $\frac{10}{9}$ , 즉 (C).

r_작 + r_큰 =

\frac{1}{9}

+ 1 =

\frac{10}{9}

→ (C)

정답

\frac{10}{9}

두 답 모두 그림에 어울립니다. r =

\frac{1}{9}

은

\frac{1}{4}

보다 훨씬 작아 두 기존 파이프 사이 좁은 틈에 쏙 들어가는 크기 — 그림과 맞습니다. r = 1 은 큰 파이프와 같은 크기이며 작은 파이프 반대쪽에서 두 파이프를 안듯이 닿습니다 — 대칭적으로 자연스럽습니다. 합

\frac{10}{9}

≈ 1.11 은 (C). 가까운 오답 중 (A)

\frac{1}{9}

는 "바깥 큰 답" 을 빠뜨리고, (B) 1 은 "틈새 작은 답" 을 빠뜨리므로 문제의 "두 가지" 조건과 맞지 않습니다.

💡핵심 정리

같은 바닥에 놓인 두 원이 닿을 때 두 중심의 수평 거리는 2√(ρ₁ ρ₂) — 피타고라스에서 한 줄로 나오는 지름길입니다. 새 파이프에도 이 지름길을 두 번 쓰고, "사이" 와 "바깥" 두 경우로 나누면 $\frac{1}{9}$ 과 1 이 곧장 나옵니다.

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