AMC 10 · 2024 · #25

학년 8 number-theory

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Integrality / Divisibility Screen

gcdsystems-of-equationsprime-factorizationspatial-visualizationvolume-rectangular-prism identify-subproblemsconvert-to-algebracaseworkguess-and-check ↑ 선수 지식: gcdsystems-of-equationsprime-factorizationvolume-rectangular-prism

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

a, b, c 가 양의 정수이고 쌍마다 서로소인 a × b × c 짜리 벽돌 27 개로 3 × 3 × 3 블록을 쌓습니다. 같은 벽돌 한 개를 더해 28 개로 2 × 2 × 7 블록을 다시 쌓으면 새 블록의 세 외측 길이가 각각 옛 블록의 대응 길이보다 정확히 1 만큼 큽니다. a + b + c 를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

도구 #1(그림 그리기)로 시작: 3 × 3 × 3 쌓기의 외측 길이는 어느 축이든 3a, 3b, 3c 중 하나이고, 2 × 2 × 7 쌓기는 2x, 2y, 7z. 한 번의 스케치로 끝. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 이를 세 축의 독립적 "새 길이 = 옛 길이 + 1" 매칭 셋으로 분해하고, 도구 #13(대수로 바꾸기)이 세 일차방정식으로 옮깁니다. 도구 #14(경우 나누기)는 "7 의 슬롯에 a, b, c 중 어느 글자가 들어가는가" 라는 모호함을 처리 — 3 · (어떤 글자) + 1 = 7 · (어떤 글자) 가 양의 정수해를 갖는 단 하나의 순환 배정(3a+1=2b, 3b+1=2c, 3c+1=7a)만 살아남습니다. 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 마지막에 쌍서로소 조건을 검증.

1STEP 1

3 × 3 × 3 쌓기는 외측 3a, 3b, 3c, 2 × 2 × 7 쌓기는 2x, 2y, 7z ({x,y,z}={a,b,c}).

옛: {3a, 3b, 3c}, 새: {2x, 2y, 7z}, {x,y,z} = {a,b,c}

2STEP 2

새 길이 = 옛 길이 +1 이므로 {3a+1, 3b+1, 3c+1} = {2x, 2y, 7z} (다중집합) — 유일한 7z 슬롯이 대응을 결정.

{3a+1, 3b+1, 3c+1} = {2x, 2y, 7z}, {x,y,z} ∼ {a,b,c}

3STEP 3

양의 정수를 주는 대응은 순환 3a+1 = 2b, 3b+1 = 2c, 3c+1 = 7a 뿐 — 나머지는 글자를 반복하거나 6a = 1 을 강제.

3a + 1 = 2b ; 3b + 1 = 2c ; 3c + 1 = 7a

4STEP 4

대입: b = $\frac{3a+1}{2}$ , c = $\frac{9a+5}{4}$ , 3c+1 = 7a 이 27a + 19 = 28a 가 되어 a = 19.

b =

\frac{3a+1}{2}

, c =

\frac{9a+5}{4}

\frac{27a + 19}{4}

= 7a → a = 19

5STEP 5

역대입: b = $\frac{58}{2}$ = 29, c = $\frac{176}{4}$ = 44, 벽돌은 19 × 29 × 44.

a = 19, b = 29, c = 44

6STEP 6

확인: 19, 29, 44 는 쌍서로소이고, {57, 87, 132} + 1 = {58, 88, 133} 가 {2b, 2c, 7a} 와 일치.

{57, 87, 132} + 1 = {58, 88, 133} = {2b, 2c, 7a} ✓

7STEP 7

합을 구하면 a + b + c = 19 + 29 + 44 = 92, 선택지 (E).

a + b + c = 19 + 29 + 44 = 92 → (E)

정답

수치들이 세 가지 독립 검증을 통과합니다. (1) 벽돌 19 × 29 × 44 는 AMC 마지막 문제 규모에 어울리는 크기 — 너무 작지도, 너무 크지도 않음. (2) 쌍서로소 조건이 문제의 요구대로 정확히 성립. (3) 두 블록의 외측 길이 {57, 87, 132} 대 {58, 88, 133} 가 모두 정확히 1 차이로 짝지어짐. 답 92 는 선택지의 상단 (E); 인접 오답 88, 89, 90, 91 은 19 + 29 + 40 같은 작은 산수 실수에서 나오는데 이번 검증으로 모두 배제됩니다.

💡핵심 정리

축마다 1 씩 차이 나는 두 벽돌 쌓기는 "변에 이름 붙이기" 한 번으로 세 작은 식 3a+1=2b, 3b+1=2c, 3c+1=7a 가 됩니다. cascade 로 풀면 a = 19, b = 29, c = 44 이 나오고 합 92 → (E).

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