AMC 10 · 2024 · #9

학년 8 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

mean-median-mode-rangeperfect-squareslinear-equations-two-var convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: mean-median-mode-rangelinear-equations-one-var

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

세 실수 a, b, c 의 산술평균이 0 이고, 제곱 a², b², c² 의 산술평균이 10 입니다. 세 쌍 곱 ab, ac, bc 의 산술평균을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

-5

(B)

$-\dfrac{10}{3}$

(C)

$-\dfrac{10}{9}$

(D)

(E)

$\dfrac{10}{9}$

AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

a, b, c 의 개별 값은 필요 없고 오직 대칭 조합 ab + ac + bc 만 알면 됩니다 — 이것이 도구 #13(대수로 바꾸기)의 신호입니다. 두 "평균" 문장을 깔끔한 등식으로 옮긴 뒤, 세 합 (a + b + c), (a² + b² + c²), (ab + ac + bc) 를 동시에 묶어주는 항등식을 찾으면 됩니다. 세 항을 정확히 잇는 다리가 (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + ac + bc). 이어서 도구 #11(거꾸로 풀기)이 ab + ac + bc 를 미지수로 보고 알려진 합들을 대입한 뒤 역연산으로 끄집어냅니다.

1STEP 1

각 평균에 3 을 곱해 두 합 a + b + c = 0 과 a² + b² + c² = 30 을 얻습니다.

a + b + c = 0, a² + b² + c² = 30

2STEP 2

삼항식 제곱 (a + b + c)² 을 전개하면 모든 제곱과 모든 쌍 곱의 두 배가 나와, 우리 합들을 잇는 다리가 됩니다.

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + ac + bc)

3STEP 3

알려진 합을 대입하면 0 = 30 + 2(ab + ac + bc), 거꾸로 풀어 ab + ac + bc = -15 를 얻습니다.

0 = 30 + 2(ab + ac + bc) → ab + ac + bc =

\frac{0 - 30}{2}

= -15

4STEP 4

합을 3 으로 나누면 ab, ac, bc 의 평균은 - $\frac{15}{3}$ = -5, 선택지 (A).

평균 =

\frac{ab + ac + bc}{3}

= -

\frac{15}{3}

= -5 → (A)

정답

-5

부호 확인: 제곱의 평균(10) 은 양수인데 값의 평균은 0 이므로 a, b, c 의 부호가 섞여 있어야 합니다 — 그러면 쌍 곱들의 합은 음의 기여가 강해져 답 -5 가 자연스럽습니다. 구체 예: a = √(15), b = -√(15), c = 0. 평균 0 ✓, 제곱평균

\frac{15 + 15 + 0}{3}

= 10 ✓, 쌍 곱은 ab = -15, ac = 0, bc = 0, 평균 = -5 ✓. 답 (A) 확정.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 방정식 풀이만 알면 풀 수 있어요 — 합의 제곱이 세 합을 한 식으로 묶어주고, 한 줄의 대수로 쌍 곱 평균이 뽑혀 나옵니다!

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