경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 10 · 2024B · #22

학년 8 counting

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

combinations-basicfactorialprime-factorizationlegendre-formula identify-subproblemsconvert-to-algebrapattern-recognition ↑ 선수 지식: combinations-basicfactorialprime-factorization

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

16 명을 구별되지 않는 4 명짜리 위원회 4 개로 나눈 뒤, 각 위원회에서 의장 한 명과 서기 한 명을 고릅니다. 이렇게 만들 수 있는 총 배정의 수를 N 이라 할 때 N = 3^r M (M 은 3으로 나누어지지 않음) 꼴로 쓸 수 있습니다. r 을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

우리에게 필요한 건 N 의 값이 아니라 N 안에 든 3의 개수뿐입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 N 을 깔끔한 곱으로 분해합니다 — (i) 분할 수 16!/(4!)⁵, (ii) 위원회 한 개당 역할 배정 12⁴. 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 N = 16! · 12⁴ / (4!)⁵ 식을 얻습니다. 도구 #5(패턴 찾기)는 "n! 안의 소수 p 의 지수 = p, 2p, 3p, … 가 주는 p + p², 2p², … 가 주는 여분" 이라는 르장드르 패턴을 적용합니다. 도구 #8(단위 살펴보기)은 소수 3을 "세는 단위" 로 두고 곱과 나눗셈을 따라가는 회계 기법으로 어려운 셈을 한 장의 v₃ 계산표로 압축합니다.

1STEP 1

N을 하나의 분수로 쓰기

N 을 세 인자로 분해: 그룹 분할, 구별되지 않는 위원회 몫 4!, 위원회당 역할 12 — 그래서 N = 16! · $\frac{12⁴}{(4!)⁵}$ .

N = 16!/(4!)⁵ · 12⁴ = (16! · 12⁴)/(4!)⁵

2STEP 2

3의 지수만 남기기

필요한 건 3의 지수뿐. v₃은 곱에서 더하고 몫에서 빼므로 v₃(N) = v₃(16!) + v₃(12⁴) - v₃((4!)⁵).

r = v₃(N) = v₃(16!) + v₃(12⁴) - v₃((4!)⁵)

3STEP 3

16 팩토리얼의 3 개수 세기

16! 속 3 세기: 3의 배수 3,6,9,12,15로 다섯, 9의 배수로 하나 더, 27은 없어 v₃(16!) = 6.

v₃(16!) = ⌊ 16/3 ⌋ + ⌊ 16/9 ⌋ + ⌊ 16/27 ⌋ + … = 5 + 1 + 0 = 6

4STEP 4

12의 거듭제곱의 3 개수 세기

12 = 2² · 3 이므로 v₃(12) = 1; 4 제곱하면 지수가 4 배라 v₃(12⁴) = 4.

12 = 2² · 3 → v₃(12⁴) = 4 · v₃(12) = 4

5STEP 5

분모의 3 개수 세기

4! = 24 = 2³ · 3 이므로 v₃(4!) = 1; 5 제곱하면 v₃((4!)⁵) = 5.

4! = 24 = 2³ · 3 → v₃((4!)⁵) = 5 · v₃(4!) = 5

6STEP 6

세 개수 합치기

세 개수를 더하면 6 + 4 - 5 = 5, 즉 r = 5 — 선택지 (A).

r = v₃(N) = 6 + 4 - 5 = 5 → (A)

정답

크기를 한 번 더 확인합니다. 분자 16! 만으로 3이 여섯 개(3, 6, 9, 12, 15 에서 다섯 개 + 9 = 3² 에서 하나 더), 역할 인자 12⁴가 네 개 더해 분자 합 열 개. 분모 (4!)⁵가 다섯 개를 회수해 남는 건 10 - 5 = 5. 분해된 모든 셈이 작은 정수(최대 6)라 답이 다섯 거듭제곱 정도임은 자연스럽고, 선택지 5, 6, 7, 8, 9도 그 근방에 몰려 있습니다. 흔한 실수는 "위원회 구별 안 됨" 의 4! 나눗셈을 잊는 것 — 그러면 v₃(4!) = 1 만큼 빠져 답이 6으로 한 칸 밀려나는데, 그게 바로 함정 (B).

💡핵심 정리

거대한 셈 문제가 "3이 몇 개 들어 있나?" 를 물으면 답을 계산하지 말고 조각마다 3만 세세요. 16! 에서 다섯, 12⁴ 에서 네 개 더, 그러나 (4!)⁵가 다섯 개를 빼앗아 남는 건 r = 5.

N을 하나의 분수로 쓰기
3의 지수만 남기기
16 팩토리얼의 3 개수 세기
12의 거듭제곱의 3 개수 세기
분모의 3 개수 세기
세 개수 합치기

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