AMC 10 · 2025 · #10

학년 8 geometry-2d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Nested Frame / Concentric Difference
area-circlesarea-differencechord-perpendicular-from-centerpythagorean-theorem identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-circlespythagorean-theorem
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형
문제
큰 반원의 지름이 AB이다. 그 안에 길이 16인 현 CD가 AB와 평행하게 놓여 있다. 지름이 AB 위에 있고 곡선 꼭대기가 CD에 딱 닿는 작은 반원을 큰 반원에서 잘라낸다. 남은 색칠된 영역의 넓이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$16\pi$
(B)
$24\pi$
(C)
$32\pi$
(D)
$48\pi$
(E)
$64\pi$

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

반지름의 수치가 하나도 주어지지 않아 각 반원의 넓이를 따로 계산할 수 없다. 그래서 도구 #4(변수 도입하기)가 열쇠다. 두 반지름을 R, r로 놓고 색칠된 넓이를 그 문자로 나타낸 뒤, 문제가 실제로 무엇을 요구하는지 살펴본다. 그러면 R이나 r을 각각 알 필요가 전혀 없고 오직 조합 R² - r² 하나만 필요함이 드러난다. 그리고 그 값은 직각삼각형 하나가 정확히 내어준다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 색칠된 영역을 큰 반원 빼기 작은 반원으로 나누고, 도구 #1(그림 그리기)은 R² - r²을 확정해 주는, 중심에서 현으로 가는 직각삼각형을 만들어 준다.

1STEP 1

색칠된 넓이를 쪼개기

색칠된 도형은 큰 반원에서 작은 반원을 뺀 것이고, 각 반원의 넓이는 π×(반지름)²의 절반이다.

색칠 = (큰 반원) - (작은 반원)
2STEP 2

두 반지름에 이름 붙이기

두 반지름을 R, r이라 하자. π/2을 묶어내면 색칠 넓이는 오직 R² - r²에만 달려 있다.

색칠 = 1/2π R² - 1/2π r² = π/2(R² - r²)
3STEP 3

접선이 CD의 높이를 정한다

작은 반원의 꼭대기는 AB에서 r만큼 위이고, 접선은 바로 그 점을 스치므로 CD는 높이 r에 놓인다.

AB 위 CD 의 높이 = r
4STEP 4

중심에서 C로 가는 직각삼각형

중심에서 CD에 수선을 내리면 현은 8씩 나뉘고 수선 길이는 r이므로 R² - r² = 64이다.

8² + r² = R² ⟹ R² - r² = 64
5STEP 5

대입해서 마무리

2단계 식에 R² - r² = 64를 넣으면 반지름은 사라지고 32π만 남는다.

색칠 = π/2(R² - r²) = π/2 · 64 = 32π → (C)
정답
32π
최종 넓이 32π은 R이나 r의 특정 값을 전혀 쓰지 않았는데, 이는 문제가 작은 반원의 위치를 알려주지 않은 것과 맞아떨어진다. 좋은 신호다. 작은 반원이 사라지는 극단(r → 0)을 보면, CD가 AB 위로 미끄러져 내려와 길이 16인 현이 지름이 되므로 R = 8이고 순수한 반원의 넓이는 1/2π (8)² = 32π이다. 같은 값이므로 뺄셈이 일관된다. 그리고 32π은 선택지 한가운데인 (C)이다.
💡핵심 정리

반지름이 주어지지 않으면 문자로 이름을 붙이고, 직각삼각형 하나가 내어주는 R² - r² 같은 조합을 노려라. 반지름 각각은 몰라도 되는 경우가 많다.

  • 색칠된 넓이를 쪼개기
  • 두 반지름에 이름 붙이기
  • 접선이 CD의 높이를 정한다
  • 중심에서 C로 가는 직각삼각형
  • 대입해서 마무리

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