AMC 10 · 2025 · #10

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Nested Frame / Concentric Difference

area-circlesarea-differencechord-perpendicular-from-centerpythagorean-theorem identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-circlespythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

반원의 지름이 $\overline{AB}$ 이고, 길이가 $16$ 이며 $\overline{AB}$ 에 평행한 현 $\overline{CD}$ 가 있다. 아래 그림처럼 지름이 $\overline{AB}$ 위에 있고 $\overline{CD}$ 에 접하는 더 작은 반원을 큰 반원에서 잘라낸다.

색칠되어 나타난, 남은 도형의 넓이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$16\pi$

(B)

$24\pi$

(C)

$32\pi$

(D)

$48\pi$

(E)

$64\pi$

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 큰 반원의 지름이 $\overline{AB}$이다. 그 안에 길이 $16$인 현 $\overline{CD}$가 $\overline{AB}$와 평행하게 놓여 있다. 지름이 $\overline{AB}$ 위에 있고 곡선 꼭대기가 $\overline{CD}$에 딱 닿는 작은 반원을 큰 반원에서 잘라낸다. 남은 색칠된 영역의 넓이를 구하여라.

주어진 것: 큰 영역은 지름이 $\overline{AB}$인 반원이다; 현 $\overline{CD}$의 길이는 $16$이고 $\overline{AB}$와 평행하다; 잘라낸 작은 반원은 지름이 $\overline{AB}$ 위에 있고 아래에서 $\overline{CD}$에 접한다; 선택지: (A) $16\pi$, (B) $24\pi$, (C) $32\pi$, (D) $48\pi$, (E) $64\pi$

구하는 것: 색칠된 도형(큰 반원에서 작은 반원을 잘라낸 것)의 넓이

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #1 그림 그리기

반지름의 수치가 하나도 주어지지 않아 각 반원의 넓이를 따로 계산할 수 없다. 그래서 도구 #4(변수 도입하기)가 열쇠다. 두 반지름을 $R$, $r$로 놓고 색칠된 넓이를 그 문자로 나타낸 뒤, 문제가 실제로 무엇을 요구하는지 살펴본다. 그러면 $R$이나 $r$을 각각 알 필요가 전혀 없고 오직 조합 $R^2 - r^2$ 하나만 필요함이 드러난다. 그리고 그 값은 직각삼각형 하나가 정확히 내어준다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 색칠된 영역을 큰 반원 빼기 작은 반원으로 나누고, 도구 #1(그림 그리기)은 $R^2 - r^2$을 확정해 주는, 중심에서 현으로 가는 직각삼각형을 만들어 준다.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 1

색칠된 넓이를 쪼개기

색칠된 도형은 큰 반원에서 작은 반원을 잘라낸 것이므로, 그 넓이는 큰 반원의 넓이에서 작은 반원의 넓이를 뺀 값이다.
반원은 원의 절반이므로 각 넓이는 $\pi \times (\text{반지름})^2$의 절반이다.

$$\text{색칠} = (\text{큰 반원}) - (\text{작은 반원})$$

💡 한 도형에서 다른 도형을 잘라내면 넓이는 그저 빼면 된다.

#4 변수 도입하기 6.EE.A.3 단계 2

두 반지름에 이름 붙이기

큰 반원의 반지름을 $R$, 작은 반원의 반지름을 $r$이라 하자.
넓이를 쓰고 $\tfrac{\pi}{2}$을 묶어내면, 색칠된 넓이가 $R$과 $r$ 각각이 아니라 오직 $R^2 - r^2$에만 의존함이 보인다.
바로 이 점이 핵심이다.
이 하나의 조합만 찾으면 된다.

$$\text{색칠} = \tfrac{1}{2}\pi R^2 - \tfrac{1}{2}\pi r^2 = \tfrac{\pi}{2}\left(R^2 - r^2\right)$$

💡 공통 인수 $\tfrac{\pi}{2}$을 묶어내면 오직 $R^2 - r^2$만 중요함이 드러난다.

#1 그림 그리기 7.G.B.4 단계 3

접선이 CD의 높이를 정한다

작은 반원은 $\overline{AB}$ 위에 평평하게 놓여 위로 볼록하므로, 가장 높은 점은 $\overline{AB}$에서 정확히 $r$만큼 위에 있다.
$\overline{CD}$에 접한다는 것은 $\overline{CD}$가 바로 그 꼭대기 점을 스친다는 뜻이다.
따라서 $\overline{CD}$는 지름 $\overline{AB}$에서 정확히 높이 $r$에 있다.

$$\overline{AB} \text{ 위 } \overline{CD} \text{의 높이} = r$$

💡 반지름 $r$인 반원의 꼭대기는 높이 $r$이고, 접선은 바로 거기서 맞닿는다.

#1 그림 그리기 8.G.B.7 단계 4

중심에서 C로 가는 직각삼각형

$\overline{AB}$의 중심을 $O$라 하자.
$O$에서 $\overline{CD}$로 수선을 내리면, 중심에서 내린 수선은 현을 이등분하므로 $\overline{CD}$의 중점에서 만나고 각 절반은 $8$이다.
그 발은 높이 $r$($\overline{CD}$의 높이)에 있으므로 수선 변의 길이는 $r$이다.
선분 $OC$는 큰 원의 반지름이므로 길이가 $R$이다.
수평 변 $8$, 수직 변 $r$, 빗변 $R$이 직각삼각형을 이루므로 피타고라스 정리에서 $R^2 - r^2 = 64$를 얻는다.

$$8^2 + r^2 = R^2 \;\Longrightarrow\; R^2 - r^2 = 64$$

💡 현의 절반, 중심에서 내린 수선, 반지름은 항상 직각삼각형을 이룬다.

#4 변수 도입하기 6.EE.A.2 단계 5

대입해서 마무리

2단계의 색칠 넓이 식에 $R^2 - r^2 = 64$을 넣는다.
모르는 반지름들은 사라지고 하나의 수가 나온다.

$$\text{색칠} = \tfrac{\pi}{2}\left(R^2 - r^2\right) = \tfrac{\pi}{2}\cdot 64 = 32\pi \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 조합 $R^2 - r^2$을 알면 답은 대입 한 번 거리에 있다.

[1] #7 7.G.B.4 색칠된 도형은 큰 반원에서 작은 반원을 잘라낸 것이므로, 그 넓이는 큰 반원의 넓이에서 작은 반원의 넓이를 뺀 값이다. 반원은 원의 절반이므로

[2] #4 6.EE.A.3 큰 반원의 반지름을 $R$, 작은 반원의 반지름을 $r$이라 하자. 넓이를 쓰고 $\tfrac{\pi}{2}$을 묶어내면, 색칠된 넓이가 $R$

[3] #1 7.G.B.4 작은 반원은 $\overline{AB}$ 위에 평평하게 놓여 위로 볼록하므로, 가장 높은 점은 $\overline{AB}$에서 정확히 $r$만큼

[4] #1 8.G.B.7 $\overline{AB}$의 중심을 $O$라 하자. $O$에서 $\overline{CD}$로 수선을 내리면, 중심에서 내린 수선은 현을 이등분

[5] #4 6.EE.A.2 2단계의 색칠 넓이 식에 $R^2 - r^2 = 64$을 넣는다. 모르는 반지름들은 사라지고 하나의 수가 나온다.

검토

합리성 확인: 최종 넓이 $32\pi$은 $R$이나 $r$의 특정 값을 전혀 쓰지 않았는데, 이는 문제가 작은 반원의 위치를 알려주지 않은 것과 맞아떨어진다. 좋은 신호다. 작은 반원이 사라지는 극단($r \to 0$)을 보면, $\overline{CD}$가 $\overline{AB}$ 위로 미끄러져 내려와 길이 $16$인 현이 지름이 되므로 $R = 8$이고 순수한 반원의 넓이는 $\tfrac{1}{2}\pi (8)^2 = 32\pi$이다. 같은 값이므로 뺄셈이 일관된다. 그리고 $32\pi$은 선택지 한가운데인 (C)이다.

대안 접근: 도구 #14(극단의 원리)를 쓰면 대부분의 대수 계산을 건너뛴다. 답이 작은 반원의 크기에 의존할 수 없으므로(그 위치와 반지름이 전혀 주어지지 않음), 극한 상황 $r = 0$으로 밀어붙인다. 그러면 $\overline{CD}$가 $\overline{AB}$와 겹쳐 길이 $16$인 현이 큰 반원의 지름이 되어 $R = 8$이고 넓이는 곧바로 $\tfrac{1}{2}\pi(8)^2 = 32\pi$이다. 완전한 유도가 이 지름길이 옳음을 확인해 준다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

7.G.B.4 원의 넓이와 둘레 공식 알기 (각 반원의 넓이를 $\pi r^2$의 절반으로 나타내고, 반지름 $r$인 반원이 접선이 닿는 높이 $r$까지 솟는다는 원의 성질을 사용.)
6.EE.A.3 연산의 성질을 적용해 동치인 식 만들기 ($\tfrac{1}{2}\pi R^2 - \tfrac{1}{2}\pi r^2$을 $\tfrac{\pi}{2}(R^2 - r^2)$으로 인수분해하여 오직 $R^2 - r^2$만 필요함을 드러냄.)
8.G.B.7 피타고라스 정리를 적용해 직각삼각형의 미지의 변 길이 구하기 (변이 $8$, $r$이고 빗변이 $R$(끝점 $C$로 가는 반지름)인 직각삼각형으로 $R^2 - r^2 = 64$을 얻음.)
6.EE.A.2 문자가 수를 나타내는 식을 쓰고 읽고 계산하기 ($R^2 - r^2 = 64$을 $\tfrac{\pi}{2}(R^2 - r^2)$에 대입해 색칠된 넓이 $32\pi$을 계산.)

⭐ 반지름이 주어지지 않으면 문자로 이름을 붙이고, 직각삼각형 하나가 내어주는 $R^2 - r^2$ 같은 조합을 노려라. 반지름 각각은 몰라도 되는 경우가 많다.