AMC 10 · 2025 · #13

학년 8 geometry-2d
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📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형
문제
큰 정사각형 안에 무한히 많은 작은 정사각형이 들어 있고, 모두 중심이 같고 변이 서로 평행하다. 각 정사각형의 변의 길이는 바로 바깥 정사각형 변의 길이의 k배이며 0 ＜ k ＜ 1이다. 이웃한 정사각형 사이의 테두리들이 두 가지 색으로 번갈아 칠해져 있다. 한 색의 테두리들이 합쳐서 큰 정사각형 넓이의 64%를 덮는다. k를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac 35$
(B)
$\frac {16}{25}$
(C)
$\frac 23$
(D)
$\frac 34$
(E)
$\frac 45$

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 패턴 찾기

그림이 끝없이 반복되므로 이기는 방법은 넓이의 패턴을 찾는 것이다. 각 정사각형은 바로 앞 정사각형의 일정한 비율이다. 그러면 칠해진 부분이 깔끔하게 반복되는 합이 된다. 바깥 넓이에 이름을 붙이고, 칠해진 부분을 테두리로 쪼개고, 끝없는 합 속에 자기 자신의 축소판이 숨어 있음을 알아채면, 짧은 식 하나가 무한한 나열을 대신한다. 그다음 64% 단서가 k를 확정한다.

1STEP 1

바깥 정사각형 넓이를 1로 두기

바깥 정사각형의 변을 1로 두면 넓이는 1이다. 이제 모든 넓이가 전체에 대한 분수가 된다.

바깥 변=1, 바깥 넓이=1²=1
2STEP 2

각 넓이는 앞 넓이의 k 제곱배

안으로 한 칸 들어가면 변에 k를 곱하니 넓이에는 k 제곱을 곱한다. 넓이는 1, k 제곱, k의 4제곱, …로 이어진다.

1, k², k⁴, k⁶, … (각 넓이=k²×앞 넓이)
3STEP 3

칠해진 테두리 더하기

테두리는 정사각형에서 안쪽 것을 뺀 부분이고, 색칠은 하나 걸러 하나이므로 합은 1 빼기 k 제곱 더하기 k의 4제곱, 끝없이 이어진다.

칠해진 넓이=(1-k²)+(k⁴-k⁶)+…=1-k²+k⁴-k⁶+…
4STEP 4

끝없는 합을 한 식으로 접기

첫 1 뒤 항들에서 k 제곱을 묶으면 같은 합 S가 나온다. S = 1 빼기 k 제곱 S이므로 S는 1 나누기 (1 더하기 k 제곱)이다.

S=1-k²(1-k²+k⁴-…)=1-k² S → S(1+k²)=1 → S=1/(1+k²)
5STEP 5

64% 단서로 k 풀기

S는 64%, 즉 25분의 16이므로 1 더하기 k 제곱은 16분의 25, k 제곱은 16분의 9, 따라서 k는 4분의 3, 답 (D).

1/(1+k²)=64/100=16/25 → 1+k²=25/16 → k²=9/16 → k=3/4
정답
3/4
k = 3/4을 다시 넣으면 k 제곱은 9/16이므로 1 더하기 k 제곱은 25/16이고, 1을 25/16으로 나누면 정확히 16/25, 즉 64%이다. 값 3/4은 요구대로 0과 1 사이에 있고 보기 중 하나이므로 답 (D)가 성립한다.
💡핵심 정리

그림이 끝없이 자기 자신을 반복하면, 안에 숨은 작은 복사본을 찾아 식 하나가 끝없는 계산을 대신하게 하라.

  • 바깥 정사각형 넓이를 1로 두기
  • 각 넓이는 앞 넓이의 k 제곱배
  • 칠해진 테두리 더하기
  • 끝없는 합을 한 식으로 접기
  • 64% 단서로 k 풀기

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