AMC 10 · 2025 · #13

학년 8 geometry-2d

유형 Geometric Series Share └ 세부 유형 Nested-Similar-Figure Area Sum

sequences-geometricgeometric-series-infinitearea-difference convert-to-algebra ↑ 선수 지식: sequences-geometric

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

아래 그림에서, 가장 바깥의 정사각형은 무한히 많은 정사각형을 담고 있으며, 이들은 모두 중심이 같고 변이 바깥 정사각형과 평행하다. 한 정사각형의 변의 길이와 그 다음 안쪽 정사각형의 변의 길이의 비는 $k$ 이고, 여기서 $0 < k < 1$ 이다. 정사각형들 사이의 공간은 그림에 나타난 것처럼 번갈아 색칠되어 있다(그림이 반드시 실제 비율대로 그려진 것은 아니다).

그림에서 색칠된 부분의 넓이는 원래 정사각형 넓이의 $64\%$ 이다. $k$ 는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac 35$

(B)

$\frac {16}{25}$

(C)

$\frac 23$

(D)

$\frac 34$

(E)

$\frac 45$

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 큰 정사각형 안에 무한히 많은 작은 정사각형이 들어 있고, 모두 중심이 같고 변이 서로 평행하다. 각 정사각형의 변의 길이는 바로 바깥 정사각형 변의 길이의 k배이며 0 < k < 1이다. 이웃한 정사각형 사이의 테두리들이 두 가지 색으로 번갈아 칠해져 있다. 한 색의 테두리들이 합쳐서 큰 정사각형 넓이의 64%를 덮는다. k를 구하여라.

주어진 것: 정사각형들은 중심을 공유하고 변이 평행하게 겹겹이 들어 있다.; 각 정사각형의 변의 길이는 바로 바깥 정사각형의 k배이고 0 < k < 1이다.; 이웃한 정사각형 사이의 테두리들이 두 색으로 번갈아 칠해져 있다.; 칠해진 색의 전체 넓이가 바깥 정사각형 넓이의 64%이다.

구하는 것: 변의 비 k.

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #7 작은 문제로 쪼개기, #16 관점 바꾸기, #13 대수로 바꾸기

그림이 끝없이 반복되므로 이기는 방법은 넓이의 패턴을 찾는 것이다. 각 정사각형은 바로 앞 정사각형의 일정한 비율이다. 그러면 칠해진 부분이 깔끔하게 반복되는 합이 된다. 바깥 넓이에 이름을 붙이고, 칠해진 부분을 테두리로 쪼개고, 끝없는 합 속에 자기 자신의 축소판이 숨어 있음을 알아채면, 짧은 식 하나가 무한한 나열을 대신한다. 그다음 64% 단서가 k를 확정한다.

실행 — 정답: D

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 1

바깥 정사각형 넓이를 1로 두기

바깥 정사각형의 변을 1로 두면 넓이는 1이다.
이제 모든 넓이가 전체에 대한 분수가 되므로 뒤에서 64% 단서를 쓰기 쉬워진다.

\text{바깥 변}=1,\quad \text{바깥 넓이}=1^2=1

💡 전체를 1이라 부르면 모든 넓이가 그림에 대한 간단한 분수가 된다.

#5 패턴 찾기 6.EE.A.1 단계 2

각 넓이는 앞 넓이의 k 제곱배

안쪽으로 한 칸 들어가면 변에 k를 곱하므로 넓이에는 k 곱하기 k, 즉 k 제곱을 곱한다.
넓이 1에서 시작하면 겹겹의 정사각형 넓이는 1, 그다음 k 제곱, 그다음 k의 4제곱, 그다음 k의 6제곱, 이렇게 이어진다.

1,\ k^2,\ k^4,\ k^6,\ \dots \qquad(\text{각 넓이}=k^2\times\text{앞 넓이})

💡 변을 k로 줄이면 가로 한 번 세로 한 번, 넓이는 k를 두 번 곱해 줄어든다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.EE.A.1 단계 3

칠해진 테두리 더하기

테두리는 어떤 정사각형에서 바로 안쪽 정사각형을 뺀 부분이다.
칠해진 색은 가장 바깥부터 하나 걸러 하나씩 테두리를 차지한다.
그래서 칠해진 넓이는 (1 빼기 k 제곱), 더하기 (k의 4제곱 빼기 k의 6제곱), 이렇게 이어진다.
한 줄로 쓰면 칠해진 넓이는 1 빼기 k 제곱 더하기 k의 4제곱 빼기 k의 6제곱, 이렇게 부호가 번갈아 끝없이 이어진다.

\text{칠해진 넓이}=(1-k^2)+(k^4-k^6)+\cdots=1-k^2+k^4-k^6+\cdots

💡 칠해진 테두리 하나하나가 정사각형에서 안쪽 것을 뺀 것이라, 나란히 놓으면 온전한 넓이들이 더하기 빼기로 남는다.

#4 변수 도입하기 8.EE.C.7 단계 4

끝없는 합을 한 식으로 접기

칠해진 합을 S라 하자.
첫 1 뒤의 모든 항에서 k 제곱을 묶어내면, 괄호 안에 남는 것은 똑같은 번갈아 더하는 합 S 그 자체이다.
그래서 S는 1 빼기 k 제곱 곱하기 S와 같다.
이 짧은 식을 풀면 S 더하기 k 제곱 곱하기 S가 1이 되어, S는 1을 (1 더하기 k 제곱)으로 나눈 값이다.

$$S=1-k^2\big(1-k^2+k^4-\cdots\big)=1-k^2 S \;\Rightarrow\; S(1+k^2)=1 \;\Rightarrow\; S=\dfrac{1}{1+k^2}$$

💡 무한한 합 안에 자기 자신의 축소판이 들어 있어, 식 하나가 끝없는 사슬 전체를 담는다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.A.2 단계 5

64% 단서로 k 풀기

칠해진 합 S는 64%, 즉 100분의 64, 다시 말해 25분의 16이다.
1을 (1 더하기 k 제곱)으로 나눈 값을 25분의 16과 같다고 놓자.
양변을 뒤집으면 1 더하기 k 제곱은 16분의 25이므로 k 제곱은 16분의 9이다.
k가 0과 1 사이이므로 양의 제곱근을 택하면 k는 4분의 3이다.
이것이 답 (D)이다.

$$\dfrac{1}{1+k^2}=\dfrac{64}{100}=\dfrac{16}{25} \;\Rightarrow\; 1+k^2=\dfrac{25}{16} \;\Rightarrow\; k^2=\dfrac{9}{16} \;\Rightarrow\; k=\dfrac{3}{4}$$

💡 비가 아는 분수와 같아지면 제곱을 되돌려 k를 바로 얻는다.

[1] #4 6.EE.B.6 바깥 정사각형의 변을 1로 두면 넓이는 1이다. 이제 모든 넓이가 전체에 대한 분수가 되므로 뒤에서 64% 단서를 쓰기 쉬워진다.

[2] #5 6.EE.A.1 안쪽으로 한 칸 들어가면 변에 k를 곱하므로 넓이에는 k 곱하기 k, 즉 k 제곱을 곱한다. 넓이 1에서 시작하면 겹겹의 정사각형 넓이는 1,

[3] #7 7.EE.A.1 테두리는 어떤 정사각형에서 바로 안쪽 정사각형을 뺀 부분이다. 칠해진 색은 가장 바깥부터 하나 걸러 하나씩 테두리를 차지한다. 그래서 칠해진 넓

[4] #4 8.EE.C.7 칠해진 합을 S라 하자. 첫 1 뒤의 모든 항에서 k 제곱을 묶어내면, 괄호 안에 남는 것은 똑같은 번갈아 더하는 합 S 그 자체이다. 그래서

[5] #13 8.EE.A.2 칠해진 합 S는 64%, 즉 100분의 64, 다시 말해 25분의 16이다. 1을 (1 더하기 k 제곱)으로 나눈 값을 25분의 16과 같다고

검토

합리성 확인: k = 3/4을 다시 넣으면 k 제곱은 9/16이므로 1 더하기 k 제곱은 25/16이고, 1을 25/16으로 나누면 정확히 16/25, 즉 64%이다. 값 3/4은 요구대로 0과 1 사이에 있고 보기 중 하나이므로 답 (D)가 성립한다.

대안 접근: 관점을 바꿔 색을 뒤집어 보자. 가장 바깥 칠해진 테두리를 벗겨내고 나머지의 모든 색을 서로 바꾼다. 남는 것은 전체 그림을 축소한(넓이 배율 k 제곱) 똑같은 그림인데 두 색이 뒤바뀐 것이다. 그래서 그 칠해진 부분은 원래의 칠 안 된 36%에 해당한다. 이로부터 64 = (1 빼기 k 제곱)(100) 더하기 36(k 제곱)이 되어 0.36 = 0.64 곱하기 k 제곱으로 정리되고, 다시 k 제곱 = 9/16, k = 3/4이 나온다. 무한 합이 필요 없다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems (바깥 정사각형의 변을 1로 두고 변의 비를 k로 놓아 모든 넓이를 식으로 나타내는 데 사용.)
6.EE.A.1 Write and evaluate numerical expressions involving whole-number exponents (넓이가 변의 제곱이므로 겹겹의 정사각형 넓이를 k의 거듭제곱(1, k^2, k^4, ...)으로 쓰는 데 사용.)
7.EE.A.1 Add, subtract, factor, and expand linear expressions to produce equivalent expressions (각 칠해진 테두리를 한 정사각형에서 다음 것을 뺀 것으로 쓰고 번갈아 더하는 합으로 모으는 데 사용.)
8.EE.C.7 Solve linear equations in one variable (끝없는 합을 S = 1 - k^2 S로 바꾸고 풀어 S = 1/(1+k^2)을 얻는 데 사용.)
8.EE.A.2 Use square root symbols to represent solutions to equations of the form x^2 = p (k^2 = 9/16을 양의 제곱근을 택해 k = 3/4로 푸는 데 사용.)

⭐ 그림이 끝없이 자기 자신을 반복하면, 안에 숨은 작은 복사본을 찾아 식 하나가 끝없는 계산을 대신하게 하라.