AMC 10 · 2025 · #14
학년 7 probability둥근 탁자 주위에 의자 여섯 개가 놓여 있다. 학생 두 명과 교사 두 명이 이 중 네 개의 의자를 무작위로 골라 앉는다. 두 학생이 서로 이웃한 두 의자에 앉고, 두 교사도 서로 이웃한 두 의자에 앉을 확률은 얼마인가?
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AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 둥근 탁자 둘레에 의자 6개가 원형으로 놓여 있습니다. 학생 2명과 교사 2명이 각자 의자 하나씩 골라 앉으므로 6개 중 4개의 의자가 채워집니다. 두 학생이 서로 이웃하고, 두 교사도 서로 이웃하게 앉을 확률을 구합니다.
주어진 것: 둥근 탁자 둘레에 의자 $6$개가 고르게 놓여 있어, 각 의자는 고정된 서로 다른 자리입니다; 학생 $2$명과 교사 $2$명이 각자 의자를 무작위로 고릅니다; $6$개 의자 중 정확히 $4$개가 한 자리에 한 명씩 채워집니다
구하는 것: 두 학생이 이웃한 의자에 앉고, 두 교사도 이웃한 의자에 앉을 확률
이해
문제 재정리: 둥근 탁자 둘레에 의자 6개가 원형으로 놓여 있습니다. 학생 2명과 교사 2명이 각자 의자 하나씩 골라 앉으므로 6개 중 4개의 의자가 채워집니다. 두 학생이 서로 이웃하고, 두 교사도 서로 이웃하게 앉을 확률을 구합니다.
주어진 것: 둥근 탁자 둘레에 의자 $6$개가 고르게 놓여 있어, 각 의자는 고정된 서로 다른 자리입니다; 학생 $2$명과 교사 $2$명이 각자 의자를 무작위로 고릅니다; $6$개 의자 중 정확히 $4$개가 한 자리에 한 명씩 채워집니다
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #1 그림 그리기
여기서 확률은 (조건을 만족하는 앉기 방법)을 (전체 앉기 방법)으로 나눈 값이므로, 할 일은 두 가지 세기입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 만족하는 경우의 수를 두 단계로 깔끔하게 나눕니다. 먼저 학생을 이웃한 한 쌍으로 앉히고, 그다음 남은 의자에 교사를 이웃한 한 쌍으로 앉힙니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 의자 $6$개의 원에 이웃한 쌍이 몇 개인지, 그리고 정해진 두 사람이 한 쌍의 의자를 채우는 방법이 몇 가지인지 셉니다. 도구 #1(그림 그리기)은 두 번째 단계의 핵심 반전을 드러냅니다. 학생이 이웃한 한 쌍을 원에서 빼내는 순간, 남은 의자 $4$개는 온전한 원이 아니라 끊긴 호, 즉 한 줄이 되어 이웃한 쌍의 수가 예상보다 적어집니다.
실행 — 정답: B
4.OA.A.3 단계 1 가능한 모든 앉기 세기
- 네 사람은 서로 다르고 여섯 의자도 서로 다른 고정된 자리이므로, 한 명씩 차례로 앉힙니다.
- 첫 번째 사람은 의자 $6$개 중에서 고르고, 다음 사람은 남은 $5$개, 그다음 $4$개, 그다음 $3$개 중에서 고릅니다.
- 이 선택의 수를 곱하면 똑같이 일어날 가능성이 있는 전체 앉기 방법의 수가 나옵니다.
💡 한 사람이 앉을 때마다 의자 하나가 채워지므로, 다음 사람이 고를 수 있는 빈 의자가 하나씩 줄어듭니다.
7.SP.C.8 단계 2 A단계: 학생을 나란히 앉히기
- 만족하는 경우를 두 단계로 나누고 먼저 학생을 처리합니다.
- 의자 $6$개의 원을 따라 돌면, 이웃 쌍은 $(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,1)$로 이웃한 쌍이 $6$개입니다.
- 그중 한 쌍을 학생 자리로 고른 뒤, 두 의자에 어느 학생이 앉을지 정하면 $2$가지 순서가 있습니다.
- 따라서 학생을 이웃한 쌍으로 앉히는 방법은 $6 \times 2$가지입니다.
💡 의자 $6$개의 원에는 각 의자에서 하나씩 시작하는 이웃 쌍이 정확히 $6$개 있습니다.
7.SP.C.8 단계 3 B단계: 교사를 나란히 앉히기
- 이제 학생이 비워 둔 의자 $4$개만 써서 교사를 이웃한 쌍으로 앉힙니다.
- 여기에 반전이 있습니다.
- 학생이 이웃한 의자 두 개짜리 한 덩어리를 원에서 빼냈으므로, 남은 의자 $4$개는 더 이상 원으로 닫히지 않고 한 줄로 늘어선 의자 $4$개가 됩니다.
- 한 줄의 의자 $4$개는 이웃 쌍이 $(1,2),(2,3),(3,4)$로 $4$개가 아니라 $3$개뿐입니다.
- 이 $3$개 쌍 중 하나를 교사 자리로 고르고 어느 교사가 어디 앉을지 정하면 $2$가지 순서가 있습니다.
💡 원에서 이웃한 덩어리를 잘라내면 나머지는 한 줄이 되고, 줄로 늘어선 $4$개는 원 $4$개보다 이웃 쌍이 하나 적습니다.
7.SP.C.7 단계 4 만족하는 경우를 전체로 나누기
- 두 단계에 따라, 만족하는 앉기의 수는 A단계와 B단계를 곱한 값입니다.
- 어떤 학생 쌍이든 어떤 교사 쌍과도 짝지을 수 있기 때문입니다.
- 그다음 이 수를 전체 $360$가지 앉기로 나누고 기약분수로 줄이면 최종 답 $\textbf{(B)}\ \tfrac{1}{5}$이 나옵니다.
💡 똑같이 일어날 수 있는 전체 경우 중 만족하는 경우가 차지하는 비율, 그것이 바로 확률의 뜻입니다.
4.OA.A.3 네 사람은 서로 다르고 여섯 의자도 서로 다른 고정된 자리이므로, 한 명씩 차례로 앉힙니다. 첫 번째 사람은 의자 $6$개 중에서 고르고, 다음 7.SP.C.8 만족하는 경우를 두 단계로 나누고 먼저 학생을 처리합니다. 의자 $6$개의 원을 따라 돌면, 이웃 쌍은 $(1,2),(2,3),(3,4),(4, 7.SP.C.8 이제 학생이 비워 둔 의자 $4$개만 써서 교사를 이웃한 쌍으로 앉힙니다. 여기에 반전이 있습니다. 학생이 이웃한 의자 두 개짜리 한 덩어리를 7.SP.C.7 두 단계에 따라, 만족하는 앉기의 수는 A단계와 B단계를 곱한 값입니다. 어떤 학생 쌍이든 어떤 교사 쌍과도 짝지을 수 있기 때문입니다. 그다음 검토
합리성 확인: 답 $\tfrac{1}{5}=0.2$는 $0$과 $1$ 사이의 확률이므로 일단 그럴듯합니다. 자리를 구별하지 않고 다시 세어도 일치합니다. 의자 $6$개 중 쓸 $4$개를 고르는 방법이 $\binom{6}{4}=15$가지, 그중 학생이 앉을 $2$개를 고르는 방법이 $\binom{4}{2}=6$가지이므로 똑같이 일어날 가능성이 있는 배치가 $90$가지입니다. 만족하는 것은 학생 이웃 쌍 $6$개에 남은 줄의 교사 이웃 쌍 $3$개를 곱한 $18$가지이고, $18/90=\tfrac15$로 같습니다.
대안 접근: 사람을 앉히는 대신, 쓰지 않고 비워 둘 의자 쌍을 먼저 고르는 방법도 있습니다. 학생 $2$명과 교사 $2$명이 의자 $4$개를 채우므로 의자 $2$개가 비게 됩니다. 학생과 교사가 각각 이웃 쌍이 되려면, 채워진 의자들이 원을 학생 덩어리와 교사 덩어리로 갈라야 합니다. 이런 배치를 빠짐없이 세어, 전체 빈 쌍 선택 $\binom{6}{2}=15$가지(및 내부 순서)로 나누면 역시 $\tfrac15$이 나옵니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
4.OA.A.3Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers (줄어드는 의자 선택 $6 \times 5 \times 4 \times 3$을 곱해 전체 $360$가지 앉기를, 그리고 $12 \times 6$으로 만족하는 경우를 세는 데 사용.)7.SP.C.8Find probabilities of compound events using organized lists, tables, and simulation (만족하는 앉기를 두 단계로 세는 데 사용: 원 위의 이웃한 학생 쌍, 그다음 남은 한 줄 위의 이웃한 교사 쌍.)7.SP.C.7Develop probability models and use them to find probabilities of events (만족하는 앉기 $72$가지를 똑같이 일어날 수 있는 전체 $360$가지로 나누어 확률 $\tfrac15$을 구하는 데 사용.)
⭐ 학생을 먼저 이웃 쌍으로 앉히고, 그 덩어리를 원에서 빼내면 남은 의자들은 한 줄이 되어 원보다 이웃 쌍이 하나 적다는 점을 기억하세요.
⭐ 학생을 먼저 이웃 쌍으로 앉히고, 그 덩어리를 원에서 빼내면 남은 의자들은 한 줄이 되어 원보다 이웃 쌍이 하나 적다는 점을 기억하세요.
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