AMC 10 · 2025 · #14

학년 7 probability

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Ordered Placement Count

probability-basicpermutations-basicsystematic-enumeration identify-subproblems ↑ 선수 지식: probability-basicpermutations-basic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

둥근 탁자 둘레에 의자 6개가 원형으로 놓여 있습니다. 학생 2명과 교사 2명이 각자 의자 하나씩 골라 앉으므로 6개 중 4개의 의자가 채워집니다. 두 학생이 서로 이웃하고, 두 교사도 서로 이웃하게 앉을 확률을 구합니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac 16$

(B)

$\frac 15$

(C)

$\frac 29$

(D)

$\frac 3{13}$

(E)

$\frac 14$

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

여기서 확률은 (조건을 만족하는 앉기 방법)을 (전체 앉기 방법)으로 나눈 값이므로, 할 일은 두 가지 세기입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 만족하는 경우의 수를 두 단계로 깔끔하게 나눕니다. 먼저 학생을 이웃한 한 쌍으로 앉히고, 그다음 남은 의자에 교사를 이웃한 한 쌍으로 앉힙니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 의자 6개의 원에 이웃한 쌍이 몇 개인지, 그리고 정해진 두 사람이 한 쌍의 의자를 채우는 방법이 몇 가지인지 셉니다. 도구 #1(그림 그리기)은 두 번째 단계의 핵심 반전을 드러냅니다. 학생이 이웃한 한 쌍을 원에서 빼내는 순간, 남은 의자 4개는 온전한 원이 아니라 끊긴 호, 즉 한 줄이 되어 이웃한 쌍의 수가 예상보다 적어집니다.

1STEP 1

가능한 모든 앉기 세기

네 사람을 한 명씩 앉히면 6, 5, 4, 3가지 선택이므로 전체는 360가지입니다.

6 × 5 × 4 × 3 = 360

2STEP 2

A단계: 학생을 나란히 앉히기

의자 6개의 원에는 이웃 쌍이 6개, 쌍마다 학생 순서가 2가지이므로 12가지입니다.

6 쌍 × 2 순서 = 12

3STEP 3

B단계: 교사를 나란히 앉히기

남은 의자 4개는 원이 아니라 한 줄이라 이웃 쌍이 3개뿐이므로 교사는 6가지입니다.

3 쌍 × 2 순서 = 6

4STEP 4

만족하는 경우를 전체로 나누기

두 단계를 곱한 72가지를 전체 360가지로 나누면 1/5입니다.

(12 × 6)/360 = 72/360 = 1/5

정답

1/5

답 1/5=0.2는 0과 1 사이의 확률이므로 일단 그럴듯합니다. 자리를 구별하지 않고 다시 세어도 일치합니다. 의자 6개 중 쓸 4개를 고르는 방법이 C(6, 4)=15가지, 그중 학생이 앉을 2개를 고르는 방법이 C(4, 2)=6가지이므로 똑같이 일어날 가능성이 있는 배치가 90가지입니다. 만족하는 것은 학생 이웃 쌍 6개에 남은 줄의 교사 이웃 쌍 3개를 곱한 18가지이고, 18/90=1/5로 같습니다.

💡핵심 정리

학생을 먼저 이웃 쌍으로 앉히고, 그 덩어리를 원에서 빼내면 남은 의자들은 한 줄이 되어 원보다 이웃 쌍이 하나 적다는 점을 기억하세요.

가능한 모든 앉기 세기
A단계: 학생을 나란히 앉히기
B단계: 교사를 나란히 앉히기
만족하는 경우를 전체로 나누기

가능한 모든 앉기 세기

A단계: 학생을 나란히 앉히기

B단계: 교사를 나란히 앉히기

만족하는 경우를 전체로 나누기

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